如图,矩形 中, ,点 是边 的中点,点 是对角线 上一动点, .连结 ,作点 关于直线 的对称点 .
(1)若 ,求 的长;
(2)若 ,求 的长;
(3)直线 交 于点 ,若 是锐角三角形,求 长的取值范围.
已知正方形,点为边的中点.
(1)如图1,点为线段上的一点,且,延长、分别与边、交于点、.
①求证:;
②求证:.
(2)如图2,在边上取一点,满足,连接交于点,连接并延长交于点,求的值.
如图1,抛物线 交 轴于 , 两点,其中点 的坐标为 ,与 轴交于点 .
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)点 为 轴上一点,如果直线 与直线 的夹角为 ,求线段 的长度;
(3)如图2,连接 ,点 在抛物线上,且满足 ,求点 的坐标.
某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后,针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形,它们的面积 , , 之间的关系问题”进行了以下探究:
类比探究
(1)如图2,在 中, 为斜边,分别以 , , 为斜边向外侧作 , , ,若 ,则面积 , , 之间的关系式为 ;
推广验证
(2)如图3,在 中, 为斜边,分别以 , , 为边向外侧作任意 , , ,满足 , ,则(1)中所得关系式是否仍然成立?若成立,请证明你的结论;若不成立,请说明理由;
拓展应用
(3)如图4,在五边形 中, , , , ,点 在 上, , ,求五边形 的面积.
如图1, 是边长为 的等边三角形,边 在射线 上,且 ,点 从 点出发,沿 的方向以 的速度运动,当 不与点 重合时,将 绕点 逆时针方向旋转 得到 ,连接 .
(1)求证: 是等边三角形;
(2)如图2,当 时, 的周长是否存在最小值?若存在,求出 的最小周长;若不存在,请说明理由;
(3)如图3,当点 在射线 上运动时,是否存在以 、 、 为顶点的三角形是直角三角形?若存在,求出此时 的值;若不存在,请说明理由.
在等腰 中, , 是直角三角形, , ,连接 、 ,点 是 的中点,连接 .
(1)当 ,点 在边 上时,如图①所示,求证: ;
(2)当 ,把 绕点 逆时针旋转,顶点 落在边 上时,如图②所示,当 ,点 在边 上时,如图③所示,猜想图②、图③中线段 和 又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想,不需证明.
在线段 的同侧作射线 和 ,若 与 的平分线分别交射线 , 于点 , , 和 交于点 .如图,点点同学发现当射线 , 交于点 ;且 时,有以下两个结论:
① ;② .
那么,当 时:
(1)点点发现的结论还成立吗?若成立,请给予证明;若不成立,请求出 的度数,写出 , , 长度之间的等量关系,并给予证明;
(2)设点 为线段 上一点, ,若 ,四边形 的面积为 ,求 的长.
如图,四边形 是菱形,点 为对角线 的中点,点 在 的延长线上, ,垂足为 ,点 在 的延长线上, ,垂足为 ,
(1)若 ,求证:四边形 是菱形;
(2)若 , 的面积为16,求菱形 的面积.
如图,在 中, , ,点C是 的中点,以OC为半径作 .
(1)求证: 是 的切线;
(2)若 ,求 的长.
阅读与思考
如图是小宇同学的数学日记,请仔细阅读,并完成相应的任务.
年 月 日星期日 没有直角尺也能作出直角 今天,我在书店一本书上看到下面材料:木工师傅有一块如图①所示的四边形木板,他已经在木板上画出一条裁割线 ,现根据木板的情况,要过 上的一点 ,作出 的垂线,用锯子进行裁割,然而手头没有直角尺,怎么办呢? 办法一:如图①,可利用一把有刻度的直尺在 上量出 ,然后分别以 , 为圆心,以 与 为半径画圆弧,两弧相交于点 ,作直线 ,则 必为 . 办法二:如图②,可以取一根笔直的木棒,用铅笔在木棒上点出 , 两点,然后把木棒斜放在木板上,使点 与点 重合,用铅笔在木板上将点 对应的位置标记为点 ,保持点 不动,将木棒绕点 旋转,使点 落在 上,在木板上将点 对应的位置标记为点 .然后将 延长,在延长线上截取线段 ,得到点 ,作直线 ,则 . 我有如下思考:以上两种办法依据的是什么数学原理呢?我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢? |
任务:
(1)填空:“办法一”依据的一个数学定理是 ;
(2)根据“办法二”的操作过程,证明 ;
(3)①尺规作图:请在图③的木板上,过点 作出 的垂线(在木板上保留作图痕迹,不写作法);
②说明你的作法所依据的数学定理或基本事实(写出一个即可).
已知 的半径为 , 的半径为 .以 为圆心,以 的长为半径画弧,再以线段 的中点 为圆心,以 的长为半径画弧,两弧交于点 ,连接 , , 交 于点 ,过点 作 的平行线 交 于点 .
(1)求证: 是 的切线;
(2)若 , , ,求阴影部分的面积.
问题呈现
如图1,在边长为1的正方形网格中,连接格点 , 和 , , 和 相交于点 ,求 的值.
方法归纳
求一个锐角的三角函数值,我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形.观察发现问题中 不在直角三角形中,我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题,比如连接格点 , ,可得 ,则 ,连接 ,那么 就变换到 中.
问题解决
(1)直接写出图1中 的值为 2 ;
(2)如图2,在边长为1的正方形网格中, 与 相交于点 ,求 的值;
思维拓展
(3)如图3, , ,点 在 上,且 ,延长 到 ,使 ,连接 交 的延长线于点 ,用上述方法构造网格求 的度数.
如图,在 中, , ,点 , 分别在 , 上,且 .
(1)如图1,求证: ;
(2)如图2, 是 的中点,求证: ;
(3)如图3, , 分别是 , 的中点,若 , ,求 的面积.
在 中,弦 与直径 相交于点 , .
(Ⅰ)如图①,若 ,求 和 的大小;
(Ⅱ)如图②,若 ,过点 作 的切线,与 的延长线相交于点 ,求 的大小.