如图,点 是等边三角形 外接圆的 上一点(与点 , 不重合), 交 于点 .
(1)求证: 是等边三角形;
(2)求证: ;
(3)如果 , ,求 的边长.
如图,矩形 的对角线 , 相交于点 ,点 , 在 上, .
(1)求证: ;
(2)若 , ,求矩形 的面积.
如图,在 中, , ,点 在 边上, 经过点 和点 且与 边相交于点 .
(1)求证: 是 的切线;
(2)若 ,求 的半径.
已知:点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点(点P不与点A、C重合),分别过点A、C向直线BD作垂线,垂足分别为点E、F,点O为AC的中点.
(1)当点P与点O重合时如图1,易证 (不需证明)
(2)直线BP绕点B逆时针方向旋转,当 时,如图2、图3的位置,猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系?请写出你对图2、图3的猜想,并选择一种情况给予证明.
如图,分别以Rt△ ABC的直角边 AC及斜边 AB向外作等边△ ACD及等边△ ABE,已知:∠ BAC=30°, EF⊥ AB,垂足为 F,连接 DF.
(1)试说明 AC= EF;
(2)求证:四边形 ADFE是平行四边形.
(1)【操作发现】
如图1,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中, 的三个顶点均在格点上.
①请按要求画图:将 绕点 顺时针方向旋转 ,点 的对应点为点 ,点 的对应点为点 .连接 ;
②在①中所画图形中, .
(2)【问题解决】
如图2,在 中, , ,延长 到 ,使 ,将斜边 绕点 顺时针旋转 到 ,连接 ,求 的度数.
(3)【拓展延伸】
如图3,在四边形 中, ,垂足为 , , , , 为常数),求 的长(用含 的式子表示).
如图,在平行四边形 中, 是对角线, ,以点 为圆心,以 的长为半径作 ,交 边于点 ,交 于点 ,连接 .
(1)求证: 与 相切;
(2)若 , ,求阴影部分的面积.
【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容.
1.把一张矩形纸片如图那样折一下,就可以裁出正方形纸片,为什么?
【问题解决】如图①,已知矩形纸片 ,将矩形纸片沿过点 的直线折叠,使点 落在边 上,点 的对应点为 ,折痕为 ,点 在 上.求证:四边形 是正方形.
【规律探索】由【问题解决】可知,图①中的△ 为等腰三角形.现将图①中的点 沿 向右平移至点 处(点 在点 的左侧),如图②,折痕为 ,点 在 上,点 在 上,那么 还是等腰三角形吗?请说明理由.
[结论应用]在图②中,当 时,将矩形纸片继续折叠如图③,使点 与点 重合,折痕为 ,点 在 上.要使四边形 为菱形,则 .
(1)如图①,点 在 上,点 在 上, , .求证: .
(2)如图②, 为 上一点,按以下步骤作图:
①连接 ;
②以点 为圆心, 长为半径作弧,交 于点 ;
③在射线 上截取 ;
④连接 .
若 ,求 的半径.
如图,是的弦,是外一点,,交于点,交于点,且.
(1)判断直线与的位置关系,并说明理由;
(2)若,,求图中阴影部分的面积.
如图, 内接于 , 是 的直径.直线 与 相切于点 ,在 上取一点 使得 ,线段 , 的延长线交于点 .
(1)求证:直线 是 的切线;
(2)若 , ,求图中阴影部分的面积(结果保留 .
如图,在四边形 中, , , ,过点 的 与边 , 分别交于 , 两点. ,垂足为 , .连接 , , .
(1)若 ,试判断 的形状,并说明理由;
(2)若 ,求证: 与 相切于点 .
定义:有一组对角互余的四边形叫做对余四边形.
理解:
(1)若四边形 是对余四边形,则 与 的度数之和为 ;
证明:
(2)如图1, 是 的直径,点 , , 在 上, , 相交于点 .
求证:四边形 是对余四边形;
探究:
(3)如图2,在对余四边形 中, , ,探究线段 , 和 之间有怎样的数量关系?写出猜想,并说明理由.
如图, 中, , 的平分线交 于 , 交 的延长线于点 , 交 于点 .
(1)若 ,求 的度数;
(2)若 ,求 的长.