初中数学等腰三角形的判定与性质解答题

如图， $\angle \mathit{MBN}=90°$，点 $C$是 $\angle \mathit{MBN}$平分线上的一点，过点 $C$分别作 $\mathit{AC}\perp \mathit{BC}$， $\mathit{CE}\perp \mathit{BN}$，垂足分别为点 $C$， $E$， $\mathit{AC}=4\sqrt{2}$，点 $P$为线段 $\mathit{BE}$上的一点（点 $P$不与点 $B$、 $E$重合），连接 $\mathit{CP}$，以 $\mathit{CP}$为直角边，点 $P$为直角顶点，作等腰直角三角形 $\mathit{CPD}$，点 $D$落在 $\mathit{BC}$左侧．

（1）求证： $\frac{\mathit{CP}}{\mathit{CD}}=\frac{\mathit{CE}}{\mathit{CB}}$；

（2）连接 $\mathit{BD}$，请你判断 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$的位置关系，并说明理由；

（3）设 $\mathit{PE}=x$， $\mathit{\Delta PBD}$的面积为 $S$，求 $S$与 $x$之间的函数关系式．

如图，已知 $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，点 $C$是圆上异于 $A$、 $B$的一点，连结 $\mathit{BC}$并延长至点 $D$，使 $\mathit{CD}=\mathit{BC}$，连结 $\mathit{AD}$交 $\odot O$于点 $E$，连结 $\mathit{BE}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABD}$是等腰三角形；

（2）连结 $\mathit{OC}$并延长，与以 $B$为切点的切线交于点 $F$，若 $\mathit{AB}=4$， $\mathit{CF}=1$，求 $\mathit{DE}$的长．

已知 $\mathit{\Delta ABC}$ ，以 $\mathit{AB}$ 为直径的 $\odot O$ 分别交 $\mathit{AC}$ 于 $D$ ， $\mathit{BC}$ 于 $E$ ，连接 $\mathit{ED}$ ，若 $\mathit{ED}=\mathit{EC}$ ．

（1）求证： $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ；

（2）若 $\mathit{AB}=4$ ， $\mathit{BC}=2\sqrt{3}$ ，求 $\mathit{CD}$ 的长．

小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形， $\angle \mathit{ACB}$ 与 $\angle \mathit{ECD}$ 恰好为对顶角， $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{CDE}=90°$ ，连接 $\mathit{BD}$ ， $\mathit{AB}=\mathit{BD}$ ，点 $F$ 是线段 $\mathit{CE}$ 上一点．

探究发现：

（1）当点 $F$ 为线段 $\mathit{CE}$ 的中点时，连接 $\mathit{DF}$ （如图（2） $)$ ，小明经过探究，得到结论： $\mathit{BD}\perp \mathit{DF}$ ．你认为此结论是否成立？ 　 　．（填"是"或"否" $)$

拓展延伸：

（2）将（1）中的条件与结论互换，即： $\mathit{BD}\perp \mathit{DF}$ ，则点 $F$ 为线段 $\mathit{CE}$ 的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

问题解决：

（3）若 $\mathit{AB}=6$ ， $\mathit{CE}=9$ ，求 $\mathit{AD}$ 的长．

已知四边形 $\mathit{ABCD}$ 是 $\odot O$ 的内接四边形， $\mathit{AC}$ 是 $\odot O$ 的直径， $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$ ，垂足为 $E$ ．

（1）延长 $\mathit{DE}$ 交 $\odot O$ 于点 $F$ ，延长 $\mathit{DC}$ ， $\mathit{FB}$ 交于点 $P$ ，如图1．求证： $\mathit{PC}=\mathit{PB}$ ；

（2）过点 $B$ 作 $\mathit{BG}\perp \mathit{AD}$ ，垂足为 $G$ ， $\mathit{BG}$ 交 $\mathit{DE}$ 于点 $H$ ，且点 $O$ 和点 $A$ 都在 $\mathit{DE}$ 的左侧，如图2．若 $\mathit{AB}=\sqrt{3}$ ， $\mathit{DH}=1$ ， $\angle \mathit{OHD}=80°$ ，求 $\angle \mathit{BDE}$ 的大小．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$．将 $\mathit{\Delta ABC}$沿着 $\mathit{BC}$方向平移得到 $\mathit{\Delta DEF}$，其中点 $E$在边 $\mathit{BC}$上， $\mathit{DE}$与 $\mathit{AC}$相交于点 $O$．

（1）求证： $\mathit{\Delta OEC}$为等腰三角形；

（2）连接 $\mathit{AE}$、 $\mathit{DC}$、 $\mathit{AD}$，当点 $E$在什么位置时，四边形 $\mathit{AECD}$为矩形，并说明理由．

已知：如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是平行四边形，延长 $\mathit{BA}$至点 $E$，使 $\mathit{AE}+\mathit{CD}=\mathit{AD}$．连接 $\mathit{CE}$，求证： $\mathit{CE}$平分 $\angle \mathit{BCD}$．

在菱形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{ABC}=60°$，点 $P$是射线 $\mathit{BD}$上一动点，以 $\mathit{AP}$为边向右侧作等边 $\mathit{\Delta APE}$，点 $E$的位置随着点 $P$的位置变化而变化．

（1）如图1，当点 $E$在菱形 $\mathit{ABCD}$内部或边上时，连接 $\mathit{CE}$， $\mathit{BP}$与 $\mathit{CE}$的数量关系是　　， $\mathit{CE}$与 $\mathit{AD}$的位置关系是　　；

（2）当点 $E$在菱形 $\mathit{ABCD}$外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由（选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）；

（3）如图4，当点 $P$在线段 $\mathit{BD}$的延长线上时，连接 $\mathit{BE}$，若 $\mathit{AB}=2\sqrt{3}$， $\mathit{BE}=2\sqrt{19}$，求四边形 $\mathit{ADPE}$的面积．

（1）【操作发现】

如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中， $\mathit{\Delta ABC}$ 的三个顶点均在格点上．

①请按要求画图：将 $\mathit{\Delta ABC}$ 绕点 $A$ 顺时针方向旋转 $90°$ ，点 $B$ 的对应点为点 $B\text{'}$ ，点 $C$ 的对应点为点 $C\text{'}$ ．连接 $\mathit{BB}\text{'}$ ；

②在①中所画图形中， $\angle \mathit{AB}\text{'}B=$ 　 　 $°$ ．

（2）【问题解决】

如图2，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\mathit{BC}=1$ ， $\angle C=90°$ ，延长 $\mathit{CA}$ 到 $D$ ，使 $\mathit{CD}=1$ ，将斜边 $\mathit{AB}$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90°$ 到 $\mathit{AE}$ ，连接 $\mathit{DE}$ ，求 $\angle \mathit{ADE}$ 的度数．

（3）【拓展延伸】

如图3，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AE}\perp \mathit{BC}$ ，垂足为 $E$ ， $\angle \mathit{BAE}=\angle \mathit{ADC}$ ， $\mathit{BE}=\mathit{CE}=1$ ， $\mathit{CD}=3$ ， $\mathit{AD}=\mathit{kAB}(k$ 为常数），求 $\mathit{BD}$ 的长（用含 $k$ 的式子表示）．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$与边 $\mathit{BC}$， $\mathit{AC}$分别交于 $D$， $E$两点，过点 $D$作 $\mathit{DH}\perp \mathit{AC}$于点 $H$．

（1）判断 $\mathit{DH}$与 $\odot O$的位置关系，并说明理由；

（2）求证： $H$为 $\mathit{CE}$的中点；

（3）若 $\mathit{BC}=10$， $\cos C=\frac{\sqrt{5}}{5}$，求 $\mathit{AE}$的长．

（1）计算： ${(-1)}^2-{(\pi -2021)}^0+|-\frac{1}{2}|$ ；

（2）如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle A=40°$ ， $\angle \mathit{ABC}=80°$ ， $\mathit{BE}$ 平分 $\angle \mathit{ABC}$ 交 $\mathit{AC}$ 于点 $E$ ， $\mathit{ED}\perp \mathit{AB}$ 于点 $D$ ，求证： $\mathit{AD}=\mathit{BD}$ ．

如图1，四边形 $\mathit{ABCD}$ 的对角线 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BD}$ 相交于点 $O$ ， $\mathit{OA}=\mathit{OC}$ ， $\mathit{OB}=\mathit{OD}+\mathit{CD}$ ．

（1）过点 $A$ 作 $\mathit{AE}//\mathit{DC}$ 交 $\mathit{BD}$ 于点 $E$ ，求证： $\mathit{AE}=\mathit{BE}$ ；

（2）如图2，将 $\mathit{\Delta ABD}$ 沿 $\mathit{AB}$ 翻折得到 $\mathit{\Delta AB}{D}^{\text{'}}$ ．

①求证： $B{D}^{\text{'}}//\mathit{CD}$ ；

②若 $A{D}^{\text{'}}//\mathit{BC}$ ，求证： $C{D}^2=2\mathit{OD}·\mathit{BD}$ ．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$，以 $\mathit{BC}$为直径的 $\odot O$交 $\mathit{AB}$于点 $D$，切线 $\mathit{DE}$交 $\mathit{AC}$于点 $E$．

（1）求证： $\angle A=\angle \mathit{ADE}$；

（2）若 $\mathit{AD}=16$， $\mathit{DE}=10$，求 $\mathit{BC}$的长．

（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：

如图1，在 $\mathit{\Delta ABC}$中，点 $O$在线段 $\mathit{BC}$上， $\angle \mathit{BAO}=30°$， $\angle \mathit{OAC}=75°$， $\mathit{AO}=3\sqrt{3}$， $\mathit{BO}:\mathit{CO}=1:3$，求 $\mathit{AB}$的长．

经过社团成员讨论发现，过点 $B$作 $\mathit{BD}//\mathit{AC}$，交 $\mathit{AO}$的延长线于点 $D$，通过构造 $\mathit{\Delta ABD}$就可以解决问题（如图 $2)$．

请回答： $\angle \mathit{ADB}=$　　 $°$， $\mathit{AB}=$　　．

（2）请参考以上解决思路，解决问题：

如图3，在四边形 $\mathit{ABCD}$中，对角线 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$相交于点 $O$， $\mathit{AC}\perp \mathit{AD}$， $\mathit{AO}=3\sqrt{3}$， $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{ACB}=75°$， $\mathit{BO}:\mathit{OD}=1:3$，求 $\mathit{DC}$的长．

如图1， $\mathit{\Delta ABC}$ 中，点 $D$ ， $E$ ， $F$ 分别在边 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{BC}$ ， $\mathit{AC}$ 上， $\mathit{BE}=\mathit{CE}$ ，点 $G$ 在线段 $\mathit{CD}$ 上， $\mathit{CG}=\mathit{CA}$ ， $\mathit{GF}=\mathit{DE}$ ， $\angle \mathit{AFG}=\angle \mathit{CDE}$ ．

（1）填空：与 $\angle \mathit{CAG}$ 相等的角是 　　；

（2）用等式表示线段 $\mathit{AD}$ 与 $\mathit{BD}$ 的数量关系，并证明；

（3）若 $\angle \mathit{BAC}=90°$ ， $\angle \mathit{ABC}=2\angle \mathit{ACD}$ （如图 $2)$ ，求 $\frac{\mathit{AC}}{\mathit{AB}}$ 的值．