初中数学等腰三角形的性质试题

已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为 $m$和 $n(m<n)$，过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则 $($　　 $)$

A． $m^2+2\mathit{mn}+n^2=0$B． $m^2-2\mathit{mn}+n^2=0$C． $m^2+2\mathit{mn}-n^2=0$D． $m^2-2\mathit{mn}-n^2=0$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{BC}$ ，以 $\mathit{\Delta ABC}$ 的边 $\mathit{AB}$ 为直径作 $\odot O$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $\mathit{DE}\perp \mathit{BC}$ ，垂足为点 $E$ ．

（1）试证明 $\mathit{DE}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\odot O$ 的半径为5， $\mathit{AC}=6\sqrt{10}$ ，求此时 $\mathit{DE}$ 的长．

已知：如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，点 $P$是底边 $\mathit{BC}$上一点且满足 $\mathit{PA}=\mathit{PB}$， $\odot O$是 $\mathit{\Delta PAB}$的外接圆，过点 $P$作 $\mathit{PD}//\mathit{AB}$交 $\mathit{AC}$于点 $D$．

（1）求证： $\mathit{PD}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{BC}=8$， $\tan \angle \mathit{ABC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，求 $\odot O$的半径．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ， $\angle C=70°$ ，分别以点 $A$ ， $B$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2}\mathit{AB}$ 的长为半径作弧，两弧相交于 $M$ ， $N$ 两点，作直线 $\mathit{MN}$ 交 $\mathit{AC}$ 于点 $D$ ，连接 $\mathit{BD}$ ，则 $\angle \mathit{BDC}=$

　　 $°$ ．

如图， $\mathit{BC}$是 $\odot O$的直径， $A$是 $\odot O$上的一点， $\angle \mathit{OAC}=32°$，则 $\angle B$的度数是 $($　　 $)$

A． $58°$B． $60°$C． $64°$D． $68°$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ，点 $P$ 在 $\mathit{BC}$ 上．

（1）求作： $\mathit{\Delta PCD}$ ，使点 $D$ 在 $\mathit{AC}$ 上，且 $\mathit{\Delta PCD}\backsim \mathit{\Delta ABP}$ ；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）的条件下，若 $\angle \mathit{APC}=2\angle \mathit{ABC}$ ．求证： $\mathit{PD}//\mathit{AB}$ ．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是正方形，延长 $\mathit{AB}$到点 $E$，使 $\mathit{AE}=\mathit{AC}$，连接 $\mathit{CE}$，则 $\angle \mathit{BCE}$的度数是　　度．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle A=40°$ ，点 $D$ ， $E$ 分别在边 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{AC}$ 上， $\mathit{BD}=\mathit{BC}=\mathit{CE}$ ，连结 $\mathit{CD}$ ， $\mathit{BE}$ ．

（1）若 $\angle \mathit{ABC}=80°$ ，求 $\angle \mathit{BDC}$ ， $\angle \mathit{ABE}$ 的度数；

（2）写出 $\angle \mathit{BEC}$ 与 $\angle \mathit{BDC}$ 之间的关系，并说明理由．

下面有4张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，请在方格纸中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合，具体要求如下：

（1）画一个直角边长为4，面积为6的直角三角形．

（2）画一个底边长为4，面积为8的等腰三角形．

（3）画一个面积为5的等腰直角三角形．

（4）画一个一边长为 $2\sqrt{2}$，面积为6的等腰三角形．

已知：如图，在 $\mathit{\Delta OAB}$中， $\mathit{OA}=\mathit{OB}$， $\odot O$与 $\mathit{AB}$相切于点 $C$．求证： $\mathit{AC}=\mathit{BC}$．小明同学的证明过程如下框：

证明：连结 $\mathit{OC}$， $\because \mathit{OA}=\mathit{OB}$， $\therefore \angle A=\angle B$， 又 $\because \mathit{OC}=\mathit{OC}$， $\therefore \mathit{\Delta OAC}\cong \mathit{\Delta OBC}$， $\therefore \mathit{AC}=\mathit{BC}$．

小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“ $\surd$”；若错误，请写出你的证明过程．

如图，在等腰 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}=2\sqrt{5}$， $\mathit{BC}=8$，按下列步骤作图：

①以点 $A$为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$于点 $E$， $F$，再分别以点 $E$， $F$为圆心，大于 $\frac{1}{2}\mathit{EF}$的长为半径作弧相交于点 $H$，作射线 $\mathit{AH}$；

②分别以点 $A$， $B$为圆心，大于 $\frac{1}{2}\mathit{AB}$的长为半径作弧相交于点 $M$， $N$，作直线 $\mathit{MN}$，交射线 $\mathit{AH}$于点 $O$；

③以点 $O$为圆心，线段 $\mathit{OA}$长为半径作圆．

则 $\odot O$的半径为 $($　　 $)$

A． $2\sqrt{5}$B．10C．4D．5

如图， $\mathit{AB}$是半圆 $O$的直径， $C$， $D$是半圆 $O$上不同于 $A$， $B$的两点， $\mathit{AD}=\mathit{BC}$， $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$相交于点 $F$． $\mathit{BE}$是半圆 $O$所在圆的切线，与 $\mathit{AC}$的延长线相交于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{\Delta CBA}\cong \mathit{\Delta DAB}$；

（2）若 $\mathit{BE}=\mathit{BF}$，求证： $\mathit{AC}$平分 $\angle \mathit{DAB}$．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}=2$ ， $P$ 是 $\mathit{BC}$ 上任意一点， $\mathit{PE}\perp \mathit{AB}$ 于点 $E$ ， $\mathit{PF}\perp \mathit{AC}$ 于点 $F$ ，若 $S_{\mathit{\Delta ABC}}=1$ ，则 $\mathit{PE}+\mathit{PF}=$ 　　．

如图， $\mathit{AD}$是等腰三角形 $\mathit{ABC}$的顶角平分线， $\mathit{BD}=5$，则 $\mathit{CD}$等于 $($　　 $)$

A．10B．5C．4D．3

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\angle A=50°$，以点 $B$为圆心， $\mathit{BC}$长为半径画弧，交 $\mathit{AB}$于点 $D$，连接 $\mathit{CD}$，则 $\angle \mathit{ACD}$的度数是 $($　　 $)$

A． $50°$B． $40°$C． $30°$D． $20°$