初中数学等腰三角形的性质解答题

如图，四边形是正方形，是等腰直角三角形，点在上，且，，垂足为点．

（1）试判断与是否相等？并给出证明；

（2）若点为的中点，与垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．

在平面直角坐标系中，已知，动点在的图象上运动（不与重合），连接．过点作，交轴于点，连接．

（1）求线段长度的取值范围；

（2）试问：点运动的过程中，是否为定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由．

（3）当为等腰三角形时，求点的坐标．

如图，直角 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=90°$， $D$在 $\mathit{BC}$上，连接 $\mathit{AD}$，作 $\mathit{BF}\perp \mathit{AD}$分别交 $\mathit{AD}$于 $E$， $\mathit{AC}$于 $F$．

（1）如图1，若 $\mathit{BD}=\mathit{BA}$，求证： $\mathit{\Delta ABE}\cong \mathit{\Delta DBE}$；

（2）如图2，若 $\mathit{BD}=4\mathit{DC}$，取 $\mathit{AB}$的中点 $G$，连接 $\mathit{CG}$交 $\mathit{AD}$于 $M$，求证：① $\mathit{GM}=2\mathit{MC}$；② $A{G}^2=\mathit{AF}·\mathit{AC}$．

如图，抛物线与轴交于点，点，且．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点在抛物线上，且，求点的坐标；

（3）抛物线上两点，，点的横坐标为，点的横坐标为．点是抛物线上，之间的动点，过点作轴的平行线交于点．

①求的最大值；

②点关于点的对称点为，当为何值时，四边形为矩形．

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点．

（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；

（2）点是抛物线上、之间的一点，过点作轴于点，轴，交抛物线于点，过点作轴于点，当矩形的周长最大时，求点的横坐标；

（3）如图2，连接、，点在线段上（不与、重合），作，交线段于点，是否存在这样点，使得为等腰三角形？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴与轴交于点，点在抛物线上．

（1）求直线的解析式；

（2）点为直线下方抛物线上的一点，连接，．当的面积最大时，连接，，点是线段的中点，点是上的一点，点是上的一点，求的最小值；

（3）点是线段的中点，将抛物线沿轴正方向平移得到新抛物线，经过点，的顶点为点．在新抛物线的对称轴上，是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=-\frac{1}{3}{x}^2+\frac{2\sqrt{3}}{3}x+3$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，抛物线的顶点为点 $E$ ．

（1）判断 $\mathit{\Delta ABC}$ 的形状，并说明理由；

（2）经过 $B$ ， $C$ 两点的直线交抛物线的对称轴于点 $D$ ，点 $P$ 为直线 $\mathit{BC}$ 上方抛物线上的一动点，当 $\mathit{\Delta PCD}$ 的面积最大时， $Q$ 从点 $P$ 出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点 $M$ 处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到 $y$ 轴上的点 $N$ 处，最后沿适当的路径运动到点 $A$ 处停止．当点 $Q$ 的运动路径最短时，求点 $N$ 的坐标及点 $Q$ 经过的最短路径的长；

（3）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点 $E$ 在射线 $\mathit{AE}$ 上移动，点 $E$ 平移后的对应点为点 $E\text{'}$ ，点 $A$ 的对应点为点 $A\text{'}$ ，将 $\mathit{\Delta AOC}$ 绕点 $O$ 顺时针旋转至△ $A_{1}O{C}_1$ 的位置，点 $A$ ， $C$ 的对应点分别为点 $A_1$ ， $C_1$ ，且点 $A_1$ 恰好落在 $\mathit{AC}$ 上，连接 $C_{1}A\text{'}$ ， $C_{1}E\text{'}$ ，△ $A\text{'}{C}_{1}E\text{'}$ 是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点 $E\text{'}$ 的坐标；若不能，请说明理由．

在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ， $D$ 是边 $\mathit{BC}$ 上一动点，连接 $\mathit{AD}$ ，将 $\mathit{AD}$ 绕点 $A$ 逆时针旋转至 $\mathit{AE}$ 的位置，使得 $\angle \mathit{DAE}+\angle \mathit{BAC}=180°$ ．

（1）如图1，当 $\angle \mathit{BAC}=90°$ 时，连接 $\mathit{BE}$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $F$ ．若 $\mathit{BE}$ 平分 $\angle \mathit{ABC}$ ， $\mathit{BD}=2$ ，求 $\mathit{AF}$ 的长；

（2）如图2，连接 $\mathit{BE}$ ，取 $\mathit{BE}$ 的中点 $G$ ，连接 $\mathit{AG}$ ．猜想 $\mathit{AG}$ 与 $\mathit{CD}$ 存在的数量关系，并证明你的猜想；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接 $\mathit{DG}$ ， $\mathit{CE}$ ．若 $\angle \mathit{BAC}=120°$ ，当 $\mathit{BD}>\mathit{CD}$ ， $\angle \mathit{AEC}=150°$ 时，请直接写出 $\frac{\mathit{BD}-\mathit{DG}}{\mathit{CE}}$ 的值．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$与 $\mathit{BC}$相交于点 $D$， $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$，垂足为 $E$．

（1）求证： $\mathit{DE}$是 $\odot O$的切线；

（2）若弦 $\mathit{MN}$垂直于 $\mathit{AB}$，垂足为 $G$， $\frac{\mathit{AG}}{\mathit{AB}}=\frac{1}{4}$， $\mathit{MN}=\sqrt{3}$，求 $\odot O$的半径；

（3）在（2）的条件下，当 $\angle \mathit{BAC}=36°$时，求线段 $\mathit{CE}$的长．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\odot O$是 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆， $\mathit{BO}$的延长线交边 $\mathit{AC}$于点 $D$．

[小题1]求证： $\angle \mathit{BAC}=2\angle \mathit{ABD}$；

[小题2]当 $\mathit{\Delta BCD}$是等腰三角形时，求 $\angle \mathit{BCD}$的大小；

[小题3]当 $\mathit{AD}=2$， $\mathit{CD}=3$时，求边 $\mathit{BC}$的长．

如图，在平行四边形中，点是的中点，点是边上的点，，平行四边形的面积为，由、、三点确定的圆的周长为．

（1）若的面积为30，直接写出的值；

（2）求证：平分；

（3）若，，，求的值．

在等腰 $\mathit{\Delta ADE}$中， $\mathit{AE}=\mathit{DE}$， $\mathit{\Delta ABC}$是直角三角形， $\angle \mathit{CAB}=90°$， $\angle \mathit{ABC}=\frac{1}{2}\angle \mathit{AED}$，连接 $\mathit{CD}$、 $\mathit{BD}$，点 $F$是 $\mathit{BD}$的中点，连接 $\mathit{EF}$．

（1）当 $\angle \mathit{EAD}=45°$，点 $B$在边 $\mathit{AE}$上时，如图①所示，求证： $\mathit{EF}=\frac{1}{2}\mathit{CD}$；

（2）当 $\angle \mathit{EAD}=45°$，把 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $A$逆时针旋转，顶点 $B$落在边 $\mathit{AD}$上时，如图②所示，当 $\angle \mathit{EAD}=60°$，点 $B$在边 $\mathit{AE}$上时，如图③所示，猜想图②、图③中线段 $\mathit{EF}$和 $\mathit{CD}$又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，顶点的坐标为，对称轴交轴于点，直线交轴于点，交轴于点，交抛物线的对称轴于点．

（1）求出，，的值．

（2）点为抛物线对称轴上一个动点，若是以为腰的等腰三角形时，请求出点的坐标．

（3）点为抛物线上一个动点，当点关于直线的对称点恰好落在轴上时，请直接写出此时点的坐标．

已知，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AC}=4$， $\mathit{BC}=2$， $D$是 $\mathit{AC}$边上的一个动点，将 $\mathit{\Delta ABD}$沿 $\mathit{BD}$所在直线折叠，使点 $A$落在点 $P$处．

（1）如图1，若点 $D$是 $\mathit{AC}$中点，连接 $\mathit{PC}$．

①写出 $\mathit{BP}$， $\mathit{BD}$的长；

②求证：四边形 $\mathit{BCPD}$是平行四边形．

（2）如图2，若 $\mathit{BD}=\mathit{AD}$，过点 $P$作 $\mathit{PH}\perp \mathit{BC}$交 $\mathit{BC}$的延长线于点 $H$，求 $\mathit{PH}$的长．

已知在矩形中，的平分线与边所在的直线交于点，点是线段上一定点（其中

（1）如图1，若点在边上（不与重合），将绕点逆时针旋转后，角的两边、分别交射线于点、．

①求证：；      ②探究：、、之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．

（2）拓展：如图2，若点在的延长线上（不与重合），过点作，交射线于点，你认为（1）中、、之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由．