初中数学等腰三角形的性质解答题

如图，在四边形ABCD中，点E、F是BC、CD的中点，且AE⊥BC，AF⊥CD．

（1）求证：AB=AD．
（2）请你探究∠EAF，∠BAE，∠DAF之间有什么数量关系？并证明你的结论．

如图，为的直径，为上的一点，，，的延长线交于点，连接．

（1）求证：是的切线；

（2）若为的中点，求的值．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $O$为 $\mathit{BC}$的中点， $\mathit{AC}$与半圆 $O$相切于点 $D$．

（1）求证： $\mathit{AB}$是半圆 $O$所在圆的切线；

（2）若 $\cos \angle \mathit{ABC}=\frac{2}{3}$， $\mathit{AB}=12$，求半圆 $O$所在圆的半径．

如图，在等腰中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为．

（1）求证：是的切线．

（2）若，，求的长．

如图，已知 $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $P$是 $\mathit{BA}$延长线上一点， $\mathit{PC}$切 $\odot O$于点 $C$， $\mathit{CG}$是 $\odot O$的弦， $\mathit{CG}\perp \mathit{AB}$，垂足为 $D$．

（1）求证： $\angle \mathit{PCA}=\angle \mathit{ABC}$．

（2）过点 $A$作 $\mathit{AE}//\mathit{PC}$交 $\odot O$于点 $E$，交 $\mathit{CD}$于点 $F$，连接 $\mathit{BE}$，若 $\cos \angle P=\frac{4}{5}$， $\mathit{CF}=10$，求 $\mathit{BE}$的长．

如图，在中，．

（1）已知线段的垂直平分线与边交于点，连接，求证：．

（2）以点为圆心，线段的长为半径画弧，与边交于点，连接．若，求的度数．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=120°$， $\mathit{AB}=\mathit{AC}=6$． $P$是底边 $\mathit{BC}$上的一个动点 $(P$与 $B$、 $C$不重合），以 $P$为圆心， $\mathit{PB}$为半径的 $\odot P$与射线 $\mathit{BA}$交于点 $D$，射线 $\mathit{PD}$交射线 $\mathit{CA}$于点 $E$．

（1）若点 $E$在线段 $\mathit{CA}$的延长线上，设 $\mathit{BP}=x$， $\mathit{AE}=y$，求 $y$关于 $x$的函数关系式，并写出 $x$的取值范围．

（2）当 $\mathit{BP}=2\sqrt{3}$时，试说明射线 $\mathit{CA}$与 $\odot P$是否相切．

（3）连接 $\mathit{PA}$，若 $S_{\mathit{\Delta APE}}=\frac{1}{8}{S}_{\mathit{\Delta ABC}}$，求 $\mathit{BP}$的长．

（贵州省安顺市）（本题12分）
如图，等腰三角形ABC中，AC＝BC＝10，AB＝12．以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）求的值．

请阅读下列材料，并完成相应的任务：

阿基米德折弦定理

阿基米德 $(\mathit{archimedes}$ ，公元前 $287-$ 公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．

阿拉伯 $\mathit{Al}-\mathit{Binmi}(973-1050$ 年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据 $\mathit{Al}-\mathit{Binmi}$ 译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．

阿基米德折弦定理：如图1， $\mathit{AB}$ 和 $\mathit{BC}$ 是 $\odot O$ 的两条弦（即折线 $\mathit{ABC}$ 是圆的一条折弦）， $\mathit{BC}>\mathit{AB}$ ， $M$ 是 $\stackrel{̂}{\mathit{ABC}}$ 的中点，则从 $M$ 向 $\mathit{BC}$ 所作垂线的垂足 $D$ 是折弦 $\mathit{ABC}$ 的中点，即 $\mathit{CD}=\mathit{AB}+\mathit{BD}$ ．下面是运用"截长法"证明 $\mathit{CD}=\mathit{AB}+\mathit{BD}$ 的部分证明过程．证明：如图2，在 $\mathit{CB}$ 上截取 $\mathit{CG}=\mathit{AB}$ ，连接 $\mathit{MA}$ ， $\mathit{MB}$ ， $\mathit{MC}$ 和 $\mathit{MG}$ ．

$\because M$ 是 $\stackrel{̂}{\mathit{ABC}}$ 的中点，

$\therefore \mathit{MA}=\mathit{MC}$ ．

$\dots$

任务：

（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；

（2）填空：如图3，已知等边 $\mathit{\Delta ABC}$ 内接于 $\odot O$ ， $\mathit{AB}=2$ ， $D$ 为 $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}$ 上一点， $\angle \mathit{ABD}=45°$ ， $\mathit{AE}\perp \mathit{BD}$ 于点 $E$ ，则 $\mathit{\Delta BDC}$ 的周长是 　 ．

如图，在中，，点在上，以为半径作，与相交于点，与相切于点，过点作，垂足为．

（1）求证：是的切线；

（2）若，，求的半径．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ，点 $P$ 在 $\mathit{BC}$ 上．

（1）求作： $\mathit{\Delta PCD}$ ，使点 $D$ 在 $\mathit{AC}$ 上，且 $\mathit{\Delta PCD}\backsim \mathit{\Delta ABP}$ ；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）的条件下，若 $\angle \mathit{APC}=2\angle \mathit{ABC}$ ．求证： $\mathit{PD}//\mathit{AB}$ ．

如图，一次函数 $y=k_{1}x+b(k_1\ne 0)$与反比例函数 $y=\frac{k_2}{x}(k_2\ne 0)$的图象交于点 $A(-1,2)$， $B(m,-1)$．

（1）求这两个函数的表达式；

（2）在 $x$轴上是否存在点 $P(n$， $0\left)\right(n>0)$，使 $\mathit{\Delta ABP}$为等腰三角形？若存在，求 $n$的值；若不存在，说明理由．

如图，已知 $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，过 $O$点作 $\mathit{OP}\perp \mathit{AB}$，交弦 $\mathit{AC}$于点 $D$，交 $\odot O$于点 $E$，且使 $\angle \mathit{PCA}=\angle \mathit{ABC}$．

（1）求证： $\mathit{PC}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\angle P=60°$， $\mathit{PC}=2$，求 $\mathit{PE}$的长．

如图，在等腰中，，是的角平分线，且，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，交于点．

（1）求由弧及线段、、围成图形（图中阴影部分）的面积；

（2）将阴影部分剪掉，余下扇形，将扇形围成一个圆锥的侧面，与正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高．

在等腰三角形中，，作交于点，交于点．

（1）在图1中，求证：；

（2）在图2中的线段上取一动点，过作交于点，作交于点，求证：；

（3）在图3中动点在线段的延长线上，类似（2）过作交的延长线于点，作交的延长线于点，求证：．