初中数学线段垂直平分线的性质解答题

如图，在中，．

（1）已知线段的垂直平分线与边交于点，连接，求证：．

（2）以点为圆心，线段的长为半径画弧，与边交于点，连接．若，求的度数．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ABC}=90°$， $\mathit{AC}$的垂直平分线分别与 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$及 $\mathit{AB}$的延长线相交于点 $D$， $E$， $F$， $\odot O$是 $\mathit{\Delta BEF}$的外接圆， $\angle \mathit{EBF}$的平分线交 $\mathit{EF}$于点 $G$，交 $\odot O$于点 $H$，连接 $\mathit{BD}$、 $\mathit{FH}$．

（1）试判断 $\mathit{BD}$与 $\odot O$的位置关系，并说明理由；

（2）当 $\mathit{AB}=\mathit{BE}=1$时，求 $\odot O$的面积；

（3）在（2）的条件下，求 $\mathit{HG}·\mathit{HB}$的值．

在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle B=45°$ ， $\angle C=30°$ ，点 $D$ 是 $\mathit{BC}$ 上一点，连接 $\mathit{AD}$ ，过点 $A$ 作 $\mathit{AG}\perp \mathit{AD}$ ，在 $\mathit{AG}$ 上取点 $F$ ，连接 $\mathit{DF}$ ．延长 $\mathit{DA}$ 至 $E$ ，使 $\mathit{AE}=\mathit{AF}$ ，连接 $\mathit{EG}$ ， $\mathit{DG}$ ，且 $\mathit{GE}=\mathit{DF}$ ．

（1）若 $\mathit{AB}=2\sqrt{2}$ ，求 $\mathit{BC}$ 的长；

（2）如图1，当点 $G$ 在 $\mathit{AC}$ 上时，求证： $\mathit{BD}=\frac{1}{2}\mathit{CG}$ ；

（3）如图2，当点 $G$ 在 $\mathit{AC}$ 的垂直平分线上时，直接写出 $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{CG}}$ 的值．

阅读与思考

如图是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．

$\times$年 $\times$月 $\times$日星期日 没有直角尺也能作出直角 今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线 $\mathit{AB}$，现根据木板的情况，要过 $\mathit{AB}$上的一点 $C$，作出 $\mathit{AB}$的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？ 办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在 $\mathit{AB}$上量出 $\mathit{CD}=30\mathit{cm}$，然后分别以 $D$， $C$为圆心，以 $50\mathit{cm}$与 $40\mathit{cm}$为半径画圆弧，两弧相交于点 $E$，作直线 $\mathit{CE}$，则 $\angle \mathit{DCE}$必为 $90°$． 办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出 $M$， $N$两点，然后把木棒斜放在木板上，使点 $M$与点 $C$重合，用铅笔在木板上将点 $N$对应的位置标记为点 $Q$，保持点 $N$不动，将木棒绕点 $N$旋转，使点 $M$落在 $\mathit{AB}$上，在木板上将点 $M$对应的位置标记为点 $R$．然后将 $\mathit{RQ}$延长，在延长线上截取线段 $\mathit{QS}=\mathit{MN}$，得到点 $S$，作直线 $\mathit{SC}$，则 $\angle \mathit{RCS}=90°$． 我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？ $\dots \dots$

任务：

（1）填空：“办法一”依据的一个数学定理是　   　；

（2）根据“办法二”的操作过程，证明 $\angle \mathit{RCS}=90°$；

（3）①尺规作图：请在图③的木板上，过点 $C$作出 $\mathit{AB}$的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）；

②说明你的作法所依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）．

如图，已知中，，．

（1）求边的长；

（2）设边的垂直平分线与边的交点为，求的值．

在数学课本上，同学们已经探究过“经过已知直线外一点作这条直线的垂线“的尺规作图过程：

已知：直线l和l外一点P．

求作：直线l的垂线，使它经过点P．

作法：如图：（1）在直线l上任取两点A、B；

（2）分别以点A、B为圆心，AP，BP长为半径画弧，两弧相交于点Q；

（3）作直线PQ．

参考以上材料作图的方法，解决以下问题：

（1）以上材料作图的依据是：　　

（2）已知，直线l和l外一点P，

求作：⊙P，使它与直线l相切．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）

问题发现

（1）如图（1），四边形 $\mathit{ABCD}$ 中，若 $\mathit{AB}=\mathit{AD}$ ， $\mathit{CB}=\mathit{CD}$ ，则线段 $\mathit{BD}$ ， $\mathit{AC}$ 的位置关系为 　 　；

拓展探究

（2）如图（2），在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中，点 $F$ 为斜边 $\mathit{BC}$ 的中点，分别以 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{AC}$ 为底边，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 外部作等腰三角形 $\mathit{ABD}$ 和等腰三角形 $\mathit{ACE}$ ，连接 $\mathit{FD}$ ， $\mathit{FE}$ ，分别交 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{AC}$ 于点 $M$ ， $N$ ，试猜想四边形 $\mathit{FMAN}$ 的形状，并说明理由；

解决问题

（3）如图（3），在正方形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=2\sqrt{2}$ ，以点 $A$ 为旋转中心将正方形 $\mathit{ABCD}$ 旋转 $60°$ ，得到正方形 $\mathit{AB}\text{'}C\text{'}D\text{'}$ ，请直接写出 $\mathit{BD}\text{'}$ 的长度．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中，对角线 $\mathit{AC}$的垂直平分线 $\mathit{EF}$分别交 $\mathit{AD}$、 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$于点 $E$、 $O$、 $F$，连接 $\mathit{CE}$和 $\mathit{AF}$．

（1）求证：四边形 $\mathit{AECF}$为菱形；

（2）若 $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BC}=8$，求菱形 $\mathit{AECF}$的周长．

如图，已知D是BC的中点，过点D作BC的垂线交∠A的平分线于点E，EF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G．求证：BF=CG．

如图，在△ ABC中， BD、 CE分别是 AC、 AB上的中线， BD与 CE相交于点 O．

（1）利用尺规作图取线段 CO的中点．（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）猜想 CO与 OE的长度有什么关系，并说明理由．

如图，已知锐角 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$ ．

（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作 $\angle \mathit{ACB}$ 的平分线 $\mathit{CD}$ ；作 $\mathit{\Delta ABC}$ 的外接圆 $\odot O$ ；（不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若 $\mathit{AB}=\frac{48}{5}$ ， $\odot O$ 的半径为5，则 $\sin B=$ 　　．（如需画草图，请使用图 $2)$

如图，点 $P$是 $\odot O$的直径 $\mathit{AB}$延长线上的一点 $(\mathit{PB}<\mathit{OB})$，点 $E$是线段 $\mathit{OP}$的中点．

（1）尺规作图：在直径 $\mathit{AB}$上方的圆上作一点 $C$，使得 $\mathit{EC}=\mathit{EP}$，连接 $\mathit{EC}$， $\mathit{PC}$（保留清晰作图痕迹，不要求写作法）；并证明 $\mathit{PC}$是 $\odot O$的切线；

（2）在（1）的条件下，若 $\mathit{BP}=4$， $\mathit{EB}=1$，求 $\mathit{PC}$的长．

如图，已知 $\mathit{BD}$是矩形 $\mathit{ABCD}$的对角线．

（1）用直尺和圆规作线段 $\mathit{BD}$的垂直平分线，分别交 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BC}$于 $E$、 $F$（保留作图痕迹，不写作法和证明）．

（2）连接 $\mathit{BE}$， $\mathit{DF}$，问四边形 $\mathit{BEDF}$是什么四边形？请说明理由．

已知：如图， $\angle \mathit{ABC}$，射线 $\mathit{BC}$上一点 $D$．

求作：等腰 $\mathit{\Delta PBD}$，使线段 $\mathit{BD}$为等腰 $\mathit{\Delta PBD}$的底边，点 $P$在 $\angle \mathit{ABC}$内部，且点 $P$到 $\angle \mathit{ABC}$两边的距离相等．

如图，是菱形的对角线，，

（1）请用尺规作图法，作的垂直平分线，垂足为，交于；（不要求写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）条件下，连接，求的度数．