初中数学全等三角形的判定与性质试题

如图， $\mathit{\Delta ACB}$和 $\mathit{\Delta DCE}$均为等腰三角形，点 $A$， $D$， $E$在同一直线上，连接 $\mathit{BE}$．

（1）如图1，若 $\angle \mathit{CAB}=\angle \mathit{CBA}=\angle \mathit{CDE}=\angle \mathit{CED}=50°$

①求证： $\mathit{AD}=\mathit{BE}$；

②求 $\angle \mathit{AEB}$的度数．

（2）如图2，若 $\angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{DCE}=120°$， $\mathit{CM}$为 $\mathit{\Delta DCE}$中 $\mathit{DE}$边上的高， $\mathit{BN}$为 $\mathit{\Delta ABE}$中 $\mathit{AE}$边上的高，试证明： $\mathit{AE}=2\sqrt{3}\mathit{CM}+\frac{2\sqrt{3}}{3}\mathit{BN}$．

在 $▱\mathit{ABCD}$中， $E$、 $F$分别是 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BC}$上的点，将平行四边形 $\mathit{ABCD}$沿 $\mathit{EF}$所在直线翻折，使点 $B$与点 $D$重合，且点 $A$落在点 $A\text{'}$处．

（1）求证：△ $A\text{'}\mathit{ED}\cong \mathit{\Delta CFD}$；

（2）连接 $\mathit{BE}$，若 $\angle \mathit{EBF}=60°$， $\mathit{EF}=3$，求四边形 $\mathit{BFDE}$的面积．

我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．

（1）如图1，四边形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$， $F$， $G$， $H$分别为边 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$， $\mathit{DA}$的中点．求证：中点四边形 $\mathit{EFGH}$是平行四边形；

（2）如图2，点 $P$是四边形 $\mathit{ABCD}$内一点，且满足 $\mathit{PA}=\mathit{PB}$， $\mathit{PC}=\mathit{PD}$， $\angle \mathit{APB}=\angle \mathit{CPD}$，点 $E$， $F$， $G$， $H$分别为边 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$， $\mathit{DA}$的中点，猜想中点四边形 $\mathit{EFGH}$的形状，并证明你的猜想；

（3）若改变（2）中的条件，使 $\angle \mathit{APB}=\angle \mathit{CPD}=90°$，其他条件不变，直接写出中点四边形 $\mathit{EFGH}$的形状．（不必证明）

如图1，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\angle B=30°$，点 $M$是 $\mathit{AB}$的中点，连接 $\mathit{MC}$，点 $P$是线段 $\mathit{BC}$延长线上一点，且 $\mathit{PC}<\mathit{BC}$，连接 $\mathit{MP}$交 $\mathit{AC}$于点 $H$．将射线 $\mathit{MP}$绕点 $M$逆时针旋转 $60°$交线段 $\mathit{CA}$的延长线于点 $D$．

（1）找出与 $\angle \mathit{AMP}$相等的角，并说明理由．

（2）如图2， $\mathit{CP}=\frac{1}{2}\mathit{BC}$，求 $\frac{\mathit{AD}}{\mathit{BC}}$的值．

（3）在（2）的条件下，若 $\mathit{MD}=\frac{\sqrt{13}}{3}$，求线段 $\mathit{AB}$的长．

已知： $\mathit{\Delta ABC}$和 $\mathit{\Delta ADE}$均为等边三角形，连接 $\mathit{BE}$， $\mathit{CD}$，点 $F$， $G$， $H$分别为 $\mathit{DE}$， $\mathit{BE}$， $\mathit{CD}$中点．

（1）当 $\mathit{\Delta ADE}$绕点 $A$旋转时，如图1，则 $\mathit{\Delta FGH}$的形状为　　，说明理由；

（2）在 $\mathit{\Delta ADE}$旋转的过程中，当 $B$， $D$， $E$三点共线时，如图2，若 $\mathit{AB}=3$， $\mathit{AD}=2$，求线段 $\mathit{FH}$的长；

（3）在 $\mathit{\Delta ADE}$旋转的过程中，若 $\mathit{AB}=a$， $\mathit{AD}=b(a>b>0)$，则 $\mathit{\Delta FGH}$的周长是否存在最大值和最小值，若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由．

如图，已知 $\angle 1=\angle 2$， $\angle 3=\angle 4$，求证： $\mathit{BC}=\mathit{BD}$．

正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为 $6\mathit{cm}$，点 $E$、 $M$分别是线段 $\mathit{BD}$、 $\mathit{AD}$上的动点，连接 $\mathit{AE}$并延长，交边 $\mathit{BC}$于 $F$，过 $M$作 $\mathit{MN}\perp \mathit{AF}$，垂足为 $H$，交边 $\mathit{AB}$于点 $N$．

（1）如图1，若点 $M$与点 $D$重合，求证： $\mathit{AF}=\mathit{MN}$；

（2）如图2，若点 $M$从点 $D$出发，以 $1\mathit{cm}/s$的速度沿 $\mathit{DA}$向点 $A$运动，同时点 $E$从点 $B$出发，以 $\sqrt{2}\mathit{cm}/s$的速度沿 $\mathit{BD}$向点 $D$运动，运动时间为 $\mathit{ts}$．

①设 $\mathit{BF}=\mathit{ycm}$，求 $y$关于 $t$的函数表达式；

②当 $\mathit{BN}=2\mathit{AN}$时，连接 $\mathit{FN}$，求 $\mathit{FN}$的长．

如图， $E$是 $▱\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{CD}$的中点，延长 $\mathit{AE}$交 $\mathit{BC}$的延长线于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ADE}\cong \mathit{\Delta FCE}$．

（2）若 $\angle \mathit{BAF}=90°$， $\mathit{BC}=5$， $\mathit{EF}=3$，求 $\mathit{CD}$的长．

如图， $E$是 $▱\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AD}$的中点，连接 $\mathit{CE}$并延长交 $\mathit{BA}$的延长线于 $F$，若 $\mathit{CD}=6$，求 $\mathit{BF}$的长．

如图放置的两个正方形，大正方形 $\mathit{ABCD}$边长为 $a$，小正方形 $\mathit{CEFG}$边长为 $b(a>b)$， $M$在 $\mathit{BC}$边上，且 $\mathit{BM}=b$，连接 $\mathit{AM}$， $\mathit{MF}$， $\mathit{MF}$交 $\mathit{CG}$于点 $P$，将 $\mathit{\Delta ABM}$绕点 $A$旋转至 $\mathit{\Delta ADN}$，将 $\mathit{\Delta MEF}$绕点 $F$旋转至 $\mathit{\Delta NGF}$，给出以下五个结论：① $\angle \mathit{MAD}=\angle \mathit{AND}$；② $\mathit{CP}=b-\frac{b^2}{a}$；③ $\mathit{\Delta ABM}\cong \mathit{\Delta NGF}$；④ $S_{\mathit{四边形AMFN}}=a^2+b^2$；⑤ $A$， $M$， $P$， $D$四点共圆，其中正确的个数是 $($　　 $)$

A．2B．3C．4D．5

如图所示，直线 $\mathit{DP}$和圆 $O$相切于点 $C$，交直径 $\mathit{AE}$的延长线于点 $P$．过点 $C$作 $\mathit{AE}$的垂线，交 $\mathit{AE}$于点 $F$，交圆 $O$于点 $B$．作平行四边形 $\mathit{ABCD}$，连接 $\mathit{BE}$， $\mathit{DO}$， $\mathit{CO}$．

（1）求证： $\mathit{DA}=\mathit{DC}$；

（2）求 $\angle P$及 $\angle \mathit{AEB}$的大小．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$中， $\mathit{DE}=\mathit{CE}$，连接 $\mathit{AE}$并延长交 $\mathit{BC}$的延长线于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ADE}\cong \mathit{\Delta FCE}$；

（2）若 $\mathit{AB}=2\mathit{BC}$， $\angle F=36°$．求 $\angle B$的度数．

如图，是具有公共边 $\mathit{AB}$的两个直角三角形，其中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$， $\angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{ADB}=90°$．

（1）如图1，若延长 $\mathit{DA}$到点 $E$，使 $\mathit{AE}=\mathit{BD}$，连接 $\mathit{CD}$， $\mathit{CE}$．

①求证： $\mathit{CD}=\mathit{CE}$， $\mathit{CD}\perp \mathit{CE}$；

②求证： $\mathit{AD}+\mathit{BD}=\sqrt{2}\mathit{CD}$；

（2）若 $\mathit{\Delta ABC}$与 $\mathit{\Delta ABD}$位置如图2所示，请直接写出线段 $\mathit{AD}$， $\mathit{BD}$， $\mathit{CD}$的数量关系．

如图， $\mathit{AD}$、 $\mathit{BC}$相交于点 $O$， $\mathit{AD}=\mathit{BC}$， $\angle C=\angle D=90°$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ACB}\cong \mathit{\Delta BDA}$；

（2）若 $\angle \mathit{ABC}=35°$，则 $\angle \mathit{CAO}=$　     　 $°$．

已知，如图，平行四边形 $\mathit{ABCD}$中， $E$是 $\mathit{BC}$边的中点，连接 $\mathit{DE}$并延长交 $\mathit{AB}$的延长线于点 $F$，求证： $\mathit{AB}=\mathit{BF}$．