初中数学全等三角形的判定与性质解答题

如图，为的直径，四边形内接于，对角线，交于点，的切线交的延长线于点，切点为，且．

（1）求证：；

（2）若，，求的值．

如图，在正方形中，，点在边上，连接，作于点，于点，连接、，设，，．

（1）求证：；

（2）求证：；

（3）若点从点沿边运动至点停止，求点，所经过的路径与边围成的图形的面积．

如图①，在中，，，点、分别在、边上，，连接、、，点、、分别是、、的中点，连接、、．

（1）与的数量关系是　    　．

（2）将绕点逆时针旋转到图②和图③的位置，判断与有怎样的数量关系？写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．

在等腰中，，点，在射线上，，过点作，交射线于点．请答案下列问题：

（1）当点在线段上，是的角平分线时，如图①，求证：；（提示：延长，交于点．

（2）当点在线段的延长线上，是的角平分线时，如图②；当点在线段的延长线上，是的外角平分线时，如图③，请直接写出线段，，之间的数量关系，不需要证明；

（3）在（1）、（2）的条件下，若，则　　．

如图，在平面直角坐标系中，四边形的边在轴上，在轴上．为坐标原点，，线段，的长分别是方程的两个根，．

（1）求点，的坐标；

（2）为上一点，为上一点，，将翻折，使点落在上的点处，双曲线的一个分支过点．求的值；

（3）在（2）的条件下，为坐标轴上一点，在平面内是否存在点，使以，，，为顶点四边形为矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

中，点在直线上．点在平面内，点在的延长线上，，，；

（1）如图①，求证；

（2）如图②、图③，请分别写出线段，，之间的数量关系，不需要证明；

（3）若，，，则　          　．

已知抛物线经过点和点，与轴交于另一点，顶点为．

（1）求抛物线的解析式，并写出顶点的坐标；

（2）如图，点，分别在线段，上（点不与点，重合），且，，直接写出线段的长．

如图，在矩形中，为对角线的中点，过点作直线分别与矩形的边，交于，两点，连接，．

（1）求证：四边形为平行四边形；

（2）若，，且，求的长．

如图，点，，，在一条直线上，，，．

（1）求证：；

（2）连接，求证：四边形是平行四边形．

（1）如图（1），已知与交于点，，．求证：．

（2）如图（2），已知的延长线与交于点，，．探究与的数量关系，并说明理由．

如图，已知抛物线过点，交轴于点和点（点在点的左侧），抛物线的顶点为，对称轴交轴于点，连接．

（1）直接写出的值，点的坐标和抛物线对称轴的表达式；

（2）若点是抛物线对称轴上的点，当是等腰三角形时，求点的坐标；

（3）点是抛物线上的动点，连接，，将沿所在的直线对折，点落在坐标平面内的点处．求当点恰好落在直线上时点的横坐标．

如图所示，拋物线与轴交于、两点，与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为，对称轴为直线．点是抛物线上一个动点，设点的横坐标为，连接，，，．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）当的面积等于的面积的时，求的值；

（3）在（2）的条件下，若点是轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，点，分别在正方形的边，上，且．把绕点顺时针旋转得到．

（1）求证：．

（2）若，，求正方形的边长．

背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放（点 $E$ 、 $A$ 、 $D$ 在同一条直线上），发现 $\mathit{BE}=\mathit{DG}$ 且 $\mathit{BE}\perp \mathit{DG}$ ．

小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：

（1）将正方形 $\mathit{AEFG}$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转（如图 $1)$ ，还能得到 $\mathit{BE}=\mathit{DG}$ 吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由；

（2）把背景中的正方形分别改成菱形 $\mathit{AEFG}$ 和菱形 $\mathit{ABCD}$ ，将菱形 $\mathit{AEFG}$ 绕点 $A$ 按顺时针方向旋转（如图 $2)$ ，试问当 $\angle \mathit{EAG}$ 与 $\angle \mathit{BAD}$ 的大小满足怎样的关系时，背景中的结论 $\mathit{BE}=\mathit{DG}$ 仍成立？请说明理由；

（3）把背景中的正方形分别改写成矩形 $\mathit{AEFG}$ 和矩形 $\mathit{ABCD}$ ，且 $\frac{\mathit{AE}}{\mathit{AG}}=\frac{\mathit{AB}}{\mathit{AD}}=\frac{2}{3}$ ， $\mathit{AE}=4$ ， $\mathit{AB}=8$ ，将矩形 $\mathit{AEFG}$ 绕点 $A$ 按顺时针方向旋转（如图 $3)$ ，连接 $\mathit{DE}$ ， $\mathit{BG}$ ．小组发现：在旋转过程中， $D{E}^2+B{G}^2$ 的值是定值，请求出这个定值．

如图， $\mathit{AB}=\mathit{AD}$ ， $\angle \mathit{BAC}=\angle \mathit{DAC}=25°$ ， $\angle D=80°$ ．求 $\angle \mathit{BCA}$ 的度数．