如图，在正方形$\mathit{ABCD}$中，$\mathit{AB}=4$，点$G$在边$\mathit{BC}$上，连接$\mathit{AG}$，作$\mathit{DE}\perp \mathit{AG}$于点$E$，$\mathit{BF}\perp \mathit{AG}$于点$F$，连接$\mathit{BE}$、$\mathit{DF}$，设$\angle \mathit{EDF}=\alpha$，$\angle \mathit{EBF}=\beta$，$\frac{\mathit{BG}}{\mathit{BC}}=k$．

（1）求证：$\mathit{AE}=\mathit{BF}$；

（2）求证：$\tan \alpha =k·\tan \beta$；

（3）若点$G$从点$B$沿$\mathit{BC}$边运动至点$C$停止，求点$E$，$F$所经过的路径与边$\mathit{AB}$围成的图形的面积．