已知四边形 是边长为1的正方形,点 是射线 上的动点,以 为直角边在直线 的上方作等腰直角三角形 , ,设 .
(1)如图,若点 在线段 上运动, 交 于点 , 交 于点 ,连结 ,
①当 时,求线段 的长;
②在 中,设边 上的高为 ,请用含 的代数式表示 ,并求 的最大值;
(2)设过 的中点且垂直于 的直线被等腰直角三角形 截得的线段长为 ,请直接写出 与 的关系式.
已知正方形 与正方形 ,正方形 绕点 旋转一周.
(1)如图①,连接 、 ,求 的值;
(2)当正方形 旋转至图②位置时,连接 、 ,分别取 、 的中点 、 ,连接 、试探究: 与 的关系,并说明理由;
(3)连接 、 ,分别取 、 的中点 、 ,连接 , ,请直接写出线段 扫过的面积.
如图,四边形 内接于 , ,延长 到点 ,使得 ,连接 .
(1)求证: ;
(2)若 , , ,求 的值.
在数学兴趣小组活动中,小亮进行数学探究活动.
(1) 是边长为3的等边三角形, 是边 上的一点,且 ,小亮以 为边作等边三角形 ,如图1.求 的长;
(2) 是边长为3的等边三角形, 是边 上的一个动点,小亮以 为边作等边三角形 ,如图2.在点 从点 到点 的运动过程中,求点 所经过的路径长;
(3) 是边长为3的等边三角形, 是高 上的一个动点,小亮以 为边作等边三角形 ,如图3.在点 从点 到点 的运动过程中,求点 所经过的路径长;
(4)正方形 的边长为3, 是边 上的一个动点,在点 从点 到点 的运动过程中,小亮以 为顶点作正方形 ,其中点 、 都在直线 上,如图4.当点 到达点 时,点 、 、 与点 重合.则点 所经过的路径长为 ,点 所经过的路径长为 .
如图, 中, ,以点 为圆心, 为半径作 , 为 上一点,连接 、 , , 平分 .
(1)求证: 是 的切线;
(2)延长 、 相交于点 ,若 ,求 的值.
在平面直角坐标系 中,对于 、 两点,若在 轴上存在点 ,使得 ,且 ,则称 、 两点互相关联,把其中一个点叫做另一个点的关联点.已知点 、 ,点 在一次函数 的图象上.
(1)①如图,在点 、 、 中,点 的关联点是 (填" "、" "或" " ;
②若在线段 上存在点 的关联点 ,则点 的坐标是 ;
(2)若在线段 上存在点 的关联点 ,求实数 的取值范围;
(3)分别以点 、 为圆心,1为半径作 、 .若对 上的任意一点 ,在 上总存在点 ,使得 、 两点互相关联,请写出点 的坐标.
实践与探究
操作一:如图①,已知正方形纸片 ,将正方形纸片沿过点 的直线折叠,使点 落在正方形 的内部,点 的对应点为点 ,折痕为 ,再将纸片沿过点 的直线折叠,使 与 重合,折痕为 ,则 度.
操作二:如图②,将正方形纸片沿 继续折叠,点 的对应点为点 .我们发现,当点 的位置不同时,点 的位置也不同.当点 在 边的某一位置时,点 恰好落在折痕 上,则 度.
在图②中,运用以上操作所得结论,解答下列问题:
(1)设 与 的交点为点 .求证: ;
(2)若 ,则线段 的长为 .
如图,在 中, ,垂足为 , ,延长 至 ,使得 ,连接 .
(1)求证: ;
(2)若 , ,求 的周长和面积.
如图,在 中, , ,以点 为圆心, 为半径的圆交 的延长线于点 ,过点 作 的平行线,交 于点 ,连接 .
(1)求证: 为 的切线;
(2)若 ,求弧 的长.
如图,已知点 , , , 在同一条直线上, , , .
(1)求证: .
(2)判断四边形 的形状,并证明.
如图,在正方形 中,对角线 , 相交于点 ,点 , 是对角线 上的两点,且 .连接 , , , .
(1)证明: .
(2)若 , ,求四边形 的周长.
如图①, 、 是等腰 的斜边 上的两动点, , 且 .
(1)求证: ;
(2)求证: ;
(3)如图②,作 ,垂足为 ,设 , ,不妨设 ,请利用(2)的结论证明:当 时, 成立.