初中数学全等三角形的判定与性质试题

如图所示，拋物线与轴交于、两点，与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为，对称轴为直线．点是抛物线上一个动点，设点的横坐标为，连接，，，．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）当的面积等于的面积的时，求的值；

（3）在（2）的条件下，若点是轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，在等腰三角形 $\mathit{ABC}$ 中， $\angle A=120°$ ， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ，点 $D$ 、 $E$ 分别在边 $\mathit{AB}$ 、 $\mathit{AC}$ 上， $\mathit{AD}=\mathit{AE}$ ，连接 $\mathit{BE}$ ，点 $M$ 、 $N$ 、 $P$ 分别为 $\mathit{DE}$ 、 $\mathit{BE}$ 、 $\mathit{BC}$ 的中点．

（1）观察猜想．

图1中，线段 $\mathit{NM}$ 、 $\mathit{NP}$ 的数量关系是 　 　， $\angle \mathit{MNP}$ 的大小为 　　．

（2）探究证明

把 $\mathit{\Delta ADE}$ 绕点 $A$ 顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接 $\mathit{MP}$ 、 $\mathit{BD}$ 、 $\mathit{CE}$ ，判断 $\mathit{\Delta MNP}$ 的形状，并说明理由；

（3）拓展延伸

把 $\mathit{\Delta ADE}$ 绕点 $A$ 在平面内自由旋转，若 $\mathit{AD}=1$ ， $\mathit{AB}=3$ ，请求出 $\mathit{\Delta MNP}$ 面积的最大值．

如图一，在射线的一侧以为一条边作矩形，，，点是线段上一动点（不与点重合），连结，过点作的垂线交射线于点，连接．

（1）求的大小；

（2）问题探究：动点在运动的过程中，

①是否能使为等腰三角形，如果能，求出线段的长度；如果不能，请说明理由．

②的大小是否改变？若不改变，请求出的大小；若改变，请说明理由．

（3）问题解决：

如图二，当动点运动到的中点时，与的交点为，的中点为，求线段的长度．

如图，将正方形纸片 $\mathit{ABCD}$ 沿 $\mathit{PQ}$ 折叠，使点 $C$ 的对称点 $E$ 落在边 $\mathit{AB}$ 上，点 $D$ 的对称点为点 $F$ ， $\mathit{EF}$ 交 $\mathit{AD}$ 于点 $G$ ，连接 $\mathit{CG}$ 交 $\mathit{PQ}$ 于点 $H$ ，连接 $\mathit{CE}$ ．下列四个结论中：① $\mathit{\Delta PBE}~\mathit{\Delta QFG}$ ；② $S_{\mathit{\Delta CEG}}=S_{\mathit{\Delta CBE}}+S_{\mathit{四边形}\mathit{CDQH}}$ ；③ $\mathit{EC}$ 平分 $\angle \mathit{BEG}$ ；④ $E{G}^2-C{H}^2=\mathit{GQ}\cdot \mathit{GD}$ ，正确的是 　　（填序号即可）．

在等腰三角形中，，作交于点，交于点．

（1）在图1中，求证：；

（2）在图2中的线段上取一动点，过作交于点，作交于点，求证：；

（3）在图3中动点在线段的延长线上，类似（2）过作交的延长线于点，作交的延长线于点，求证：．

[性质探究]

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中，对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$相交于点 $O$， $\mathit{AE}$平分 $\angle \mathit{BAC}$，交 $\mathit{BC}$于点 $E$．作 $\mathit{DF}\perp \mathit{AE}$于点 $H$，分别交 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$于点 $F$， $G$．

（1）判断 $\mathit{\Delta AFG}$的形状并说明理由．

（2）求证： $\mathit{BF}=2\mathit{OG}$．

[迁移应用]

（3）记 $\mathit{\Delta DGO}$的面积为 $S_1$， $\mathit{\Delta DBF}$的面积为 $S_2$，当 $\frac{S_1}{S_2}=\frac{1}{3}$时，求 $\frac{\mathit{AD}}{\mathit{AB}}$的值．

[拓展延伸]

（4）若 $\mathit{DF}$交射线 $\mathit{AB}$于点 $F$，[性质探究]中的其余条件不变，连结 $\mathit{EF}$，当 $\mathit{\Delta BEF}$的面积为矩形 $\mathit{ABCD}$面积的 $\frac{1}{10}$时，请直接写出 $\tan \angle \mathit{BAE}$的值．

如图，四边形是正方形，是等腰直角三角形，点在上，且，，垂足为点．

（1）试判断与是否相等？并给出证明；

（2）若点为的中点，与垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $O$ 是对角线 $\mathit{BD}$ 的中点，点 $P$ 在线段 $\mathit{OD}$ 上，连接 $\mathit{AP}$ 并延长交 $\mathit{CD}$ 于点 $E$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PF}\perp \mathit{AP}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{AF}$ 、 $\mathit{EF}$ ， $\mathit{AF}$ 交 $\mathit{BD}$ 于 $G$ ，现有以下结论：① $\mathit{AP}=\mathit{PF}$ ；② $\mathit{DE}+\mathit{BF}=\mathit{EF}$ ；③ $\mathit{PB}-\mathit{PD}=\sqrt{2}\mathit{BF}$ ；④ $S_{\mathit{\Delta AEF}}$ 为定值；⑤ $S_{\mathit{四边形}\mathit{PEFG}}=S_{\mathit{\Delta APG}}$ ．以上结论正确的有 　　（填入正确的序号即可）．

在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ， $D$ 是边 $\mathit{BC}$ 上一动点，连接 $\mathit{AD}$ ，将 $\mathit{AD}$ 绕点 $A$ 逆时针旋转至 $\mathit{AE}$ 的位置，使得 $\angle \mathit{DAE}+\angle \mathit{BAC}=180°$ ．

（1）如图1，当 $\angle \mathit{BAC}=90°$ 时，连接 $\mathit{BE}$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $F$ ．若 $\mathit{BE}$ 平分 $\angle \mathit{ABC}$ ， $\mathit{BD}=2$ ，求 $\mathit{AF}$ 的长；

（2）如图2，连接 $\mathit{BE}$ ，取 $\mathit{BE}$ 的中点 $G$ ，连接 $\mathit{AG}$ ．猜想 $\mathit{AG}$ 与 $\mathit{CD}$ 存在的数量关系，并证明你的猜想；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接 $\mathit{DG}$ ， $\mathit{CE}$ ．若 $\angle \mathit{BAC}=120°$ ，当 $\mathit{BD}>\mathit{CD}$ ， $\angle \mathit{AEC}=150°$ 时，请直接写出 $\frac{\mathit{BD}-\mathit{DG}}{\mathit{CE}}$ 的值．

【证明体验】

（1）如图1， $\mathit{AD}$ 为 $\mathit{\Delta ABC}$ 的角平分线， $\angle \mathit{ADC}=60°$ ，点 $E$ 在 $\mathit{AB}$ 上， $\mathit{AE}=\mathit{AC}$ ．求证： $\mathit{DE}$ 平分 $\angle \mathit{ADB}$ ．

【思考探究】

（2）如图2，在（1）的条件下， $F$ 为 $\mathit{AB}$ 上一点，连结 $\mathit{FC}$ 交 $\mathit{AD}$ 于点 $G$ ．若 $\mathit{FB}=\mathit{FC}$ ， $\mathit{DG}=2$ ， $\mathit{CD}=3$ ，求 $\mathit{BD}$ 的长．

【拓展延伸】

（3）如图3，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中，对角线 $\mathit{AC}$ 平分 $\angle \mathit{BAD}$ ， $\angle \mathit{BCA}=2\angle \mathit{DCA}$ ，点 $E$ 在 $\mathit{AC}$ 上， $\angle \mathit{EDC}=\angle \mathit{ABC}$ ．若 $\mathit{BC}=5$ ， $\mathit{CD}=2\sqrt{5}$ ， $\mathit{AD}=2\mathit{AE}$ ，求 $\mathit{AC}$ 的长．

已知 $\mathit{\Delta ABC}$的三个顶点都是同一个正方形的顶点， $\angle \mathit{ABC}$的平分线与线段 $\mathit{AC}$交于点 $D$．若 $\mathit{\Delta ABC}$的一条边长为6，则点 $D$到直线 $\mathit{AB}$的距离为　　．

在等腰 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ，点 $D$ 是 $\mathit{BC}$ 边上一点（不与点 $B$ 、 $C$ 重合），连结 $\mathit{AD}$ ．

（1）如图1，若 $\angle C=60°$ ，点 $D$ 关于直线 $\mathit{AB}$ 的对称点为点 $E$ ，连结 $\mathit{AE}$ ， $\mathit{DE}$ ，则 $\angle \mathit{BDE}=$ 　　；

（2）若 $\angle C=60°$ ，将线段 $\mathit{AD}$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $60°$ 得到线段 $\mathit{AE}$ ，连结 $\mathit{BE}$ ．

①在图2中补全图形；

②探究 $\mathit{CD}$ 与 $\mathit{BE}$ 的数量关系，并证明；

（3）如图3，若 $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{BC}}=\frac{\mathit{AD}}{\mathit{DE}}=k$ ，且 $\angle \mathit{ADE}=\angle C$ ．试探究 $\mathit{BE}$ 、 $\mathit{BD}$ 、 $\mathit{AC}$ 之间满足的数量关系，并证明．

在 $▱\mathit{ABCD}$ 中， $\angle \mathit{BAD}=\alpha$ ， $\mathit{DE}$ 平分 $\angle \mathit{ADC}$ ，交对角线 $\mathit{AC}$ 于点 $G$ ，交射线 $\mathit{AB}$ 于点 $E$ ，将线段 $\mathit{EB}$ 绕点 $E$ 顺时针旋转 $\frac{1}{2}\alpha$ 得线段 $\mathit{EP}$ ．

（1）如图1，当 $\alpha =120°$ 时，连接 $\mathit{AP}$ ，请直接写出线段 $\mathit{AP}$ 和线段 $\mathit{AC}$ 的数量关系；

（2）如图2，当 $\alpha =90°$ 时，过点 $B$ 作 $\mathit{BF}\perp \mathit{EP}$ 于点，连接 $\mathit{AF}$ ，请写出线段 $\mathit{AF}$ ， $\mathit{AB}$ ， $\mathit{AD}$ 之间的数量关系，并说明理由；

（3）当 $\alpha =120°$ 时，连接 $\mathit{AP}$ ，若 $\mathit{BE}=\frac{1}{2}\mathit{AB}$ ，请直接写出 $\mathit{\Delta APE}$ 与 $\mathit{\Delta CDG}$ 面积的比值．

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ，点 $E$ ， $F$ ， $G$ 分别在边 $\mathit{BC}$ ， $\mathit{CD}$ 上， $\mathit{BE}=\mathit{CG}$ ， $\mathit{AF}$ 平分 $\angle \mathit{EAG}$ ，点 $H$ 是线段 $\mathit{AF}$ 上一动点（与点 $A$ 不重合）．

（1）求证： $\mathit{\Delta AEH}\cong \mathit{\Delta AGH}$ ；

（2）当 $\mathit{AB}=12$ ， $\mathit{BE}=4$ 时．

求 $\mathit{\Delta DGH}$ 周长的最小值；

②若点 $O$ 是 $\mathit{AC}$ 的中点，是否存在直线 $\mathit{OH}$ 将 $\mathit{\Delta ACE}$ 分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为 $1:3$ ．若存在，请求出 $\frac{\mathit{AH}}{\mathit{AF}}$ 的值；若不存在，请说明理由．

已知抛物线经过点和，与轴交于另一点，顶点为．

（1）求抛物线的解析式，并写出点的坐标；

（2）如图，点，分别在线段，上点不与，重合），且，则能否为等腰三角形？若能，求出的长；若不能，请说明理由；

（3）若点在抛物线上，且，试确定满足条件的点的个数．