如图,在平面直角坐标系中,抛物线 的对称轴为直线 ,其图象与 轴交于点 和点 ,与 轴交于点 .
(1)直接写出抛物线的解析式和 的度数;
(2)动点 , 同时从 点出发,点 以每秒3个单位的速度在线段 上运动,点 以每秒 个单位的速度在线段 上运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设运动的时间为 秒,连接 ,再将线段 绕点 顺时针旋转 ,设点 落在点 的位置,若点 恰好落在抛物线上,求 的值及此时点 的坐标;
(3)在(2)的条件下,设 为抛物线上一动点, 为 轴上一动点,当以点 , , 为顶点的三角形与 相似时,请直接写出点 及其对应的点 的坐标.(每写出一组正确的结果得1分,至多得4分)
如图1,抛物线 经过点 ,顶点为 ,对称轴 与 轴相交于点 , 为线段 的中点.
(1)求抛物线的解析式;
(2) 为线段 上任意一点, 为 轴上一动点,连接 ,以点 为中心,将 逆时针旋转 ,记点 的对应点为 ,点 的对应点为 .当直线 与抛物线 只有一个交点时,求点 的坐标.
(3) 在(2)的旋转变换下,若 (如图 .
①求证: .
②当点 在(1)所求的抛物线上时,求线段 的长.
如图,四边形是正方形,点为对角线的中点.
(1)问题解决:如图①,连接,分别取,的中点,,连接,则与的数量关系是 ,位置关系是 ;
(2)问题探究:如图②,△是将图①中的绕点按顺时针方向旋转得到的三角形,连接,点,分别为,的中点,连接,.判断的形状,并证明你的结论;
(3)拓展延伸:如图③,△是将图①中的绕点按逆时针方向旋转得到的三角形,连接,点,分别为,的中点,连接,.若正方形的边长为1,求的面积.
如图,在平面直角坐标系中,四边形的边在轴上,在轴上.为坐标原点,,线段,的长分别是方程的两个根,.
(1)求点,的坐标;
(2)为上一点,为上一点,,将翻折,使点落在上的点处,双曲线的一个分支过点.求的值;
(3)在(2)的条件下,为坐标轴上一点,在平面内是否存在点,使以,,,为顶点四边形为矩形?若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.
如图,已知抛物线过点,交轴于点和点(点在点的左侧),抛物线的顶点为,对称轴交轴于点,连接.
(1)直接写出的值,点的坐标和抛物线对称轴的表达式;
(2)若点是抛物线对称轴上的点,当是等腰三角形时,求点的坐标;
(3)点是抛物线上的动点,连接,,将沿所在的直线对折,点落在坐标平面内的点处.求当点恰好落在直线上时点的横坐标.
如图所示,拋物线与轴交于、两点,与轴交于点,且点的坐标为,点的坐标为,对称轴为直线.点是抛物线上一个动点,设点的横坐标为,连接,,,.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)当的面积等于的面积的时,求的值;
(3)在(2)的条件下,若点是轴上一动点,点是抛物线上一动点,试判断是否存在这样的点,使得以点,,,为顶点的四边形是平行四边形.若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.
已知抛物线经过点和,与轴交于另一点,顶点为.
(1)求抛物线的解析式,并写出点的坐标;
(2)如图,点,分别在线段,上点不与,重合),且,则能否为等腰三角形?若能,求出的长;若不能,请说明理由;
(3)若点在抛物线上,且,试确定满足条件的点的个数.
如图①,在平面直角坐标系中,已知,,,四点,动点以每秒个单位长度的速度沿运动不与点、点重合),设运动时间为(秒.
(1)求经过、、三点的抛物线的解析式;
(2)点在(1)中的抛物线上,当为的中点时,若,求点的坐标;
(3)当在上运动时,如图②.过点作轴,垂足为,,垂足为.设矩形与重叠部分的面积为,求与的函数关系式,并求出的最大值;
(4)点为轴上一点,直线与直线交于点,与轴交于点.是否存在点,使得为等腰三角形?若存在,直接写出符合条件的所有点的坐标;若不存在,请说明理由.
如图1,的三个顶点、、分别落在抛物线的图象上,点的横坐标为,点的纵坐标为.(点在点的左侧)
(1)求点、的坐标;
(2)将绕点逆时针旋转得到△,抛物线经过、两点,已知点为抛物线的对称轴上一定点,且点恰好在以为直径的圆上,连接、,求△的面积;
(3)如图2,延长交抛物线于点,连接,在坐标轴上是否存在点,使得以、、为顶点的三角形与△相似.若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
如图一,在射线的一侧以为一条边作矩形,,,点是线段上一动点(不与点重合),连结,过点作的垂线交射线于点,连接.
(1)求的大小;
(2)问题探究:动点在运动的过程中,
①是否能使为等腰三角形,如果能,求出线段的长度;如果不能,请说明理由.
②的大小是否改变?若不改变,请求出的大小;若改变,请说明理由.
(3)问题解决:
如图二,当动点运动到的中点时,与的交点为,的中点为,求线段的长度.
如图,在等边中,,动点从点出发以的速度沿匀速运动.动点同时从点出发以同样的速度沿的延长线方向匀速运动,当点到达点时,点、同时停止运动.设运动时间为.过点作于,连接交边于.以、为边作平行四边形.
(1)当为何值时,为直角三角形;
(2)是否存在某一时刻,使点在的平分线上?若存在,求出的值,若不存在,请说明理由;
(3)求的长;
(4)取线段的中点,连接,将沿直线翻折,得△,连接,当为何值时,的值最小?并求出最小值.
在等腰三角形中,,作交于点,交于点.
(1)在图1中,求证:;
(2)在图2中的线段上取一动点,过作交于点,作交于点,求证:;
(3)在图3中动点在线段的延长线上,类似(2)过作交的延长线于点,作交的延长线于点,求证:.
(1)方法选择
如图①,四边形是的内接四边形,连接,,.求证:.
小颖认为可用截长法证明:在上截取,连接
小军认为可用补短法证明:延长至点,使得
请你选择一种方法证明.
(2)类比探究
[探究1]
如图②,四边形是的内接四边形,连接,,是的直径,.试用等式表示线段,,之间的数量关系,并证明你的结论.
[探究2]
如图③,四边形是的内接四边形,连接,.若是的直径,,则线段,,之间的等量关系式是 .
(3)拓展猜想
如图④,四边形是的内接四边形,连接,.若是的直径,,则线段,,之间的等量关系式是 .
如图,四边形是正方形,是等腰直角三角形,点在上,且,,垂足为点.
(1)试判断与是否相等?并给出证明;
(2)若点为的中点,与垂直吗?若垂直,给出证明;若不垂直,说明理由.