初中数学三角形解答题

如图，已知的半径长为1，、是的两条弦，且，的延长线交于点，联结、．

（1）求证：；

（2）当是直角三角形时，求、两点的距离；

（3）记、、 的面积分别为、、，如果是和的比例中项，求的长．

已知在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线经过点，对称轴是直线，顶点为．

（1）求这条抛物线的表达式和点的坐标；

（2）点在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为，联结，用含的代数式表示的余切值；

（3）将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点在轴上．原抛物线上一点平移后的对应点为点，如果，求点的坐标．

已知：如图，四边形中，，，是对角线上一点，且．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）如果，且，求证：四边形是正方形．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-5(a\ne 0)$ 经过点 $A(4,-5)$ ，与 $x$ 轴的负半轴交于点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，且 $\mathit{OC}=5\mathit{OB}$ ，抛物线的顶点为点 $D$ ．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）联结 $\mathit{AB}$ 、 $\mathit{BC}$ 、 $\mathit{CD}$ 、 $\mathit{DA}$ ，求四边形 $\mathit{ABCD}$ 的面积；

（3）如果点 $E$ 在 $y$ 轴的正半轴上，且 $\angle \mathit{BEO}=\angle \mathit{ABC}$ ，求点 $E$ 的坐标．

已知：如图， $\odot O$ 是 $\mathit{\Delta ABC}$ 的外接圆， $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}=\stackrel{̂}{\mathit{AC}}$ ，点 $D$ 在边 $\mathit{BC}$ 上， $\mathit{AE}//\mathit{BC}$ ， $\mathit{AE}=\mathit{BD}$ ．

（1）求证： $\mathit{AD}=\mathit{CE}$ ；

（2）如果点 $G$ 在线段 $\mathit{DC}$ 上（不与点 $D$ 重合），且 $\mathit{AG}=\mathit{AD}$ ，求证：四边形 $\mathit{AGCE}$ 是平行四边形．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\mathit{AC}=\mathit{BC}=3$ ，点 $D$ 在边 $\mathit{AC}$ 上，且 $\mathit{AD}=2\mathit{CD}$ ， $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$ ，垂足为点 $E$ ，联结 $\mathit{CE}$ ，求：

（1）线段 $\mathit{BE}$ 的长；

（2） $\angle \mathit{ECB}$ 的余切值．

如图，点，，，在直线上，，，且，求证：．

如图，的半径，过点作的切线，且，连接并延长，与交于点、，过点作，并与交于点，连接、．

（1）求证：；

（2）求的长．

如图，在中，是边的中点，过点作，并与交于点，延长到点，使得，连接．

求证：．

问题提出

（1）如图①，在中，，，则的外接圆半径的值为　　．

问题探究

（2）如图②，的半径为13，弦，是的中点，是上一动点，求的最大值．

问题解决

（3）如图③所示，、、是某新区的三条规划路，其中，，，所对的圆心角为，新区管委会想在路边建物资总站点，在，路边分别建物资分站点、，也就是，分别在、线段和上选取点、、．由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路、和．为了快捷、环保和节约成本．要使得线段、、之和最短，试求的最小值．（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）

如图，在中，，以斜边上的中线为直径作，分别与、交于点、．

（1）过点作的切线与相交于点，求证：；

（2）连接，求证：．

如图，，、分别为、上的点，且，连接，分别与、相交于点，，若，求证：．

问题提出

（1）如图①，在中，，，点关于所在直线的对称点为，则的长度为　　．

问题探究

（2）如图②，半圆的直径，是的中点，点在上，且，是上的动点，试求的最小值．

问题解决

（3）如图③，扇形花坛的半径为，．根据工程需要．现想在上选点，在边上选点，在边上选点，用装饰灯带在花坛内的地面上围成一个，使晚上点亮时，花坛中的花卉依然赏心悦目．为了既节省材料，又美观大方，需使得灯带的长度最短，并且用长度最短的灯带围成的为等腰三角形．试求的值最小时的等腰的面积．（安装损耗忽略不计）

如图，在中，，是的外接圆，点在上，且，过点作的垂线，与的延长线相交于点，并与的延长线相交于点．

（1）求证：是的切线；

（2）若的半径，，求的长．

如图，在中，，是边的中点，延长到点，使，延长到点，使，连接，，求证：．