初中数学三角形解答题

如图1，在 $\mathit{\Delta APE}$中， $\angle \mathit{PAE}=90°$， $\mathit{PO}$是 $\mathit{\Delta APE}$的角平分线，以 $O$为圆心， $\mathit{OA}$为半径作圆交 $\mathit{AE}$于点 $G$．

（1）求证：直线 $\mathit{PE}$是 $\odot O$的切线；

（2）在图2中，设 $\mathit{PE}$与 $\odot O$相切于点 $H$，连接 $\mathit{AH}$，点 $D$是 $\odot O$的劣弧 $\stackrel{̂}{\mathit{AH}}$上一点，过点 $D$作 $\odot O$的切线，交 $\mathit{PA}$于点 $B$，交 $\mathit{PE}$于点 $C$，已知 $\mathit{\Delta PBC}$的周长为4， $\tan \angle \mathit{EAH}=\frac{1}{2}$，求 $\mathit{EH}$的长．

如图，已知 $\angle \mathit{CAB}=\angle \mathit{DBA}$， $\angle \mathit{CBD}=\angle \mathit{DAC}$．

求证： $\mathit{BC}=\mathit{AD}$．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是平行四边形，延长 $\mathit{BA}$至 $E$，延长 $\mathit{DC}$至 $F$，使得 $\mathit{AE}=\mathit{CF}$，连接 $\mathit{EF}$交 $\mathit{AD}$于 $G$，交 $\mathit{BC}$于 $H$．求证： $\mathit{\Delta AEG}\cong \mathit{\Delta CFH}$．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中，点 $F$在边 $\mathit{BC}$上，且 $\mathit{AF}=\mathit{AD}$，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AF}$，垂足为点 $E$

（1）求证： $\mathit{DE}=\mathit{AB}$；

（2）以 $A$为圆心， $\mathit{AB}$长为半径作圆弧交 $\mathit{AF}$于点 $G$，若 $\mathit{BF}=\mathit{FC}=1$，求扇形 $\mathit{ABG}$的面积．（结果保留 $\pi )$

问题引入：

（1）如图①，在 $\mathit{\Delta ABC}$中，点 $O$是 $\angle \mathit{ABC}$和 $\angle \mathit{ACB}$平分线的交点，若 $\angle A=\alpha$，则 $\angle \mathit{BOC}=$　　（用 $\alpha$表示）；如图②， $\angle \mathit{CBO}=\frac{1}{3}\angle \mathit{ABC}$， $\angle \mathit{BCO}=\frac{1}{3}\angle \mathit{ACB}$， $\angle A=\alpha$，则 $\angle \mathit{BOC}=$　　（用 $\alpha$表示）

拓展研究：

（2）如图③， $\angle \mathit{CBO}=\frac{1}{3}\angle \mathit{DBC}$， $\angle \mathit{BCO}=\frac{1}{3}\angle \mathit{ECB}$， $\angle A=\alpha$，请猜想 $\angle \mathit{BOC}=$　　（用 $\alpha$表示），并说明理由．

类比研究：

（3） $\mathit{BO}$、 $\mathit{CO}$分别是 $\mathit{\Delta ABC}$的外角 $\angle \mathit{DBC}$、 $\angle \mathit{ECB}$的 $n$等分线，它们交于点 $O$， $\angle \mathit{CBO}=\frac{1}{n}\angle \mathit{DBC}$， $\angle \mathit{BCO}=\frac{1}{n}\angle \mathit{ECB}$， $\angle A=\alpha$，请猜想 $\angle \mathit{BOC}=$　　．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ABC}=90°$， $\mathit{AC}$的垂直平分线分别与 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$及 $\mathit{AB}$的延长线相交于点 $D$， $E$， $F$， $\odot O$是 $\mathit{\Delta BEF}$的外接圆， $\angle \mathit{EBF}$的平分线交 $\mathit{EF}$于点 $G$，交 $\odot O$于点 $H$，连接 $\mathit{BD}$、 $\mathit{FH}$．

（1）试判断 $\mathit{BD}$与 $\odot O$的位置关系，并说明理由；

（2）当 $\mathit{AB}=\mathit{BE}=1$时，求 $\odot O$的面积；

（3）在（2）的条件下，求 $\mathit{HG}·\mathit{HB}$的值．

如图所示， $\mathit{\Delta ABC}$中， $D$是 $\mathit{BC}$边上一点， $E$是 $\mathit{AD}$的中点，过点 $A$作 $\mathit{BC}$的平行线交 $\mathit{CE}$的延长线于 $F$，且 $\mathit{AF}=\mathit{BD}$，连接 $\mathit{BF}$．

（1）求证： $D$是 $\mathit{BC}$的中点；

（2）若 $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，试判断四边形 $\mathit{AFBD}$的形状，并证明你的结论．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\angle \mathit{BAC}$的平分线交 $\mathit{BC}$于点 $O$， $\mathit{OC}=1$，以点 $O$为圆心 $\mathit{OC}$为半径作半圆．

（1）求证： $\mathit{AB}$为 $\odot O$的切线；

（2）如果 $\tan \angle \mathit{CAO}=\frac{1}{3}$，求 $\cos B$的值．

已知 $\mathit{\Delta ABN}$和 $\mathit{\Delta ACM}$位置如图所示， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\mathit{AD}=\mathit{AE}$， $\angle 1=\angle 2$．

（1）求证： $\mathit{BD}=\mathit{CE}$；

（2）求证： $\angle M=\angle N$．

如图， $\mathit{AB}$为 $\odot O$直径， $C$为 $\odot O$上一点，点 $D$是 $\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$的中点， $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$于 $E$， $\mathit{DF}\perp \mathit{AB}$于 $F$．

（1）判断 $\mathit{DE}$与 $\odot O$的位置关系，并证明你的结论；

（2）若 $\mathit{OF}=4$，求 $\mathit{AC}$的长度．

如图， $C$是线段 $\mathit{AB}$的中点， $\mathit{CD}=\mathit{BE}$， $\mathit{CD}//\mathit{BE}$．求证： $\angle D=\angle E$．

阅读下列材料并回答问题：

材料1：如果一个三角形的三边长分别为 $a$， $b$， $c$，记 $p=\frac{a+b+c}{2}$，那么三角形的面积为 $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$．    ①

古希腊几何学家海伦 $(\mathit{Heron}$，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名．他在《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称海伦公式．

我国南宋数学家秦九韶（约 $1202--$约 $1261)$，曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式： $S=\sqrt{\frac{1}{4}[a^2{b}^2-{\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2}\right)}^2]}$．     ②

下面我们对公式②进行变形： $\sqrt{\frac{1}{4}[a^2{b}^2-{\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2}\right)}^2]}=\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\mathit{ab}\right)}^2-{\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{4}\right)}^2}=\sqrt{(\frac{1}{2}\mathit{ab}+\frac{a^2+b^2-c^2}{4})(\frac{1}{2}\mathit{ab}-\frac{a^2+b^2-c^2}{4})}=\sqrt{\frac{2\mathit{ab}+a^2+b^2-c^2}{4}·\frac{2\mathit{ab}-a^2-b^2+c^2}{4}}=\sqrt{\frac{{(a+b)}^2-c^2}{4}·\frac{c^2-{(a-b)}^2}{4}}=\sqrt{\frac{a+b+c}{2}·\frac{a+b-c}{2}·\frac{a+c-b}{2}·\frac{b+c-a}{2}}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$．

这说明海伦公式与秦九韶公式实质上是同一公式，所以我们也称①为海伦 $--$秦九韶公式．

问题：如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=13$， $\mathit{BC}=12$， $\mathit{AC}=7$， $\odot O$内切于 $\mathit{\Delta ABC}$，切点分别是 $D$、 $E$、 $F$．

（1）求 $\mathit{\Delta ABC}$的面积；

（2）求 $\odot O$的半径．

如图， $▱\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BD}$交于点 $O$， $\mathit{EF}$过点 $O$且与 $\mathit{BC}$、 $\mathit{AD}$分别交于点 $E$、 $F$．试猜想线段 $\mathit{AE}$、 $\mathit{CF}$的关系，并说明理由．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，以 $\mathit{AC}$边为直径作 $\odot O$交 $\mathit{BC}$边于点 $D$，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$于点 $E$， $\mathit{ED}$、 $\mathit{AC}$的延长线交于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{EF}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{EB}=\frac{3}{2}$，且 $\sin \angle \mathit{CFD}=\frac{3}{5}$，求 $\odot O$的半径与线段 $\mathit{AE}$的长．

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$中， $E$是边 $\mathit{AB}$的中点， $F$是边 $\mathit{BC}$的中点，连接 $\mathit{CE}$、 $\mathit{DF}$．求证： $\mathit{CE}=\mathit{DF}$．