如图1，在 $\mathit{\Delta APE}$中， $\angle \mathit{PAE}=90°$， $\mathit{PO}$是 $\mathit{\Delta APE}$的角平分线，以 $O$为圆心， $\mathit{OA}$为半径作圆交 $\mathit{AE}$于点 $G$．

（1）求证：直线 $\mathit{PE}$是 $\odot O$的切线；

（2）在图2中，设 $\mathit{PE}$与 $\odot O$相切于点 $H$，连接 $\mathit{AH}$，点 $D$是 $\odot O$的劣弧 $\stackrel{̂}{\mathit{AH}}$上一点，过点 $D$作 $\odot O$的切线，交 $\mathit{PA}$于点 $B$，交 $\mathit{PE}$于点 $C$，已知 $\mathit{\Delta PBC}$的周长为4， $\tan \angle \mathit{EAH}=\frac{1}{2}$，求 $\mathit{EH}$的长．