初中数学三角形解答题

如图，在边长为1的正方形 $\mathit{ABCD}$ 中， $E$ 是边 $\mathit{CD}$ 的中点，点 $P$ 是边 $\mathit{AD}$ 上一点（与点 $A$ 、 $D$ 不重合），射线 $\mathit{PE}$ 与 $\mathit{BC}$ 的延长线交于点 $Q$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta PDE}\cong \mathit{\Delta QCE}$ ；

（2）过点 $E$ 作 $\mathit{EF}//\mathit{BC}$ 交 $\mathit{PB}$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{AF}$ ，当 $\mathit{PB}=\mathit{PQ}$ 时，

①求证：四边形 $\mathit{AFEP}$ 是平行四边形；

②请判断四边形 $\mathit{AFEP}$ 是否为菱形，并说明理由．

如图，在△ ABC中，内角 A、 B、 C所对的边分别为 a、 b、 c．

（1）若 a＝6， b＝8， c＝12，请直接写出∠ A与∠ B的和与∠ C的大小关系；

（2）求证：△ ABC的内角和等于180°；

（3）若 $\frac{a}{a-b+c}=\frac{\frac{1}{2}(a+b+c)}{c}$ ，求证：△ ABC是直角三角形．

已知：如图， $E$、 $F$是平行四边形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$上的两点， $\mathit{AE}=\mathit{CF}$．

求证：（1） $\mathit{\Delta ADF}\cong \mathit{\Delta CBE}$；

（2） $\mathit{EB}//\mathit{DF}$．

如图，在正方形 ABCD中， AB＝6， M是对角线 BD上的一个动点（0＜ DM＜ $\frac{1}{2}$ BD），连接 AM，过点 M作 MN⊥ AM交 BC于点 N．

（1）如图①，求证： MA＝ MN；

（2）如图②，连接 AN， O为 AN的中点， MO的延长线交边 AB于点 P，当 $\frac{S_{△\mathit{AMN}}}{S_{△\mathit{BCD}}}=\frac{13}{18}$ 时，求 AN和 PM的长；

（3）如图③，过点 N作 NH⊥ BD于 H，当 AM＝2 $\mathrm{}\sqrt{5}$ 时，求△ HMN的面积．

如图：点 $C$ 是 $\mathit{AE}$ 的中点， $\angle A=\angle \mathit{ECD}$ ， $\mathit{AB}=\mathit{CD}$ ，求证： $\angle B=\angle D$ ．

问题探究：

小红遇到这样一个问题：如图1， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=6$， $\mathit{AC}=4$， $\mathit{AD}$是中线，求 $\mathit{AD}$的取值范围．她的做法是：延长 $\mathit{AD}$到 $E$，使 $\mathit{DE}=\mathit{AD}$，连接 $\mathit{BE}$，证明 $\mathit{\Delta BED}\cong \mathit{\Delta CAD}$，经过推理和计算使问题得到解决．

请回答：（1）小红证明 $\mathit{\Delta BED}\cong \mathit{\Delta CAD}$的判定定理是：　 　；

（2） $\mathit{AD}$的取值范围是　　；

方法运用：

（3）如图2， $\mathit{AD}$是 $\mathit{\Delta ABC}$的中线，在 $\mathit{AD}$上取一点 $F$，连结 $\mathit{BF}$并延长交 $\mathit{AC}$于点 $E$，使 $\mathit{AE}=\mathit{EF}$，求证： $\mathit{BF}=\mathit{AC}$．

（4）如图3，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{BC}}=\frac{1}{2}$，在 $\mathit{BD}$上取一点 $F$，以 $\mathit{BF}$为斜边作 $\text{Rt}\Delta \text{BEF}$，且 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{BE}}=\frac{1}{2}$，点 $G$是 $\mathit{DF}$的中点，连接 $\mathit{EG}$， $\mathit{CG}$，求证： $\mathit{EG}=\mathit{CG}$．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$ 为平行四边形，连接 $\mathit{AC}$ ，且 $\mathit{AC}=2\mathit{AB}$ ．请用尺规完成基本作图：作出 $\angle \mathit{BAC}$ 的角平分线与 $\mathit{BC}$ 交于点 $E$ ．连接 $\mathit{BD}$ 交 $\mathit{AE}$ 于点 $F$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $O$ ，猜想线段 $\mathit{BF}$ 和线段 $\mathit{DF}$ 的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$ 中， $E$ ， $F$ 是对角线 $\mathit{BD}$ 上的两点（点 $E$ 在点 $F$ 左侧），且 $\angle \mathit{AEB}=\angle \mathit{CFD}=90°$ ．

（1）求证：四边形 $\mathit{AECF}$ 是平行四边形；

（2）当 $\mathit{AB}=5$ ， $\tan \angle \mathit{ABE}=\frac{3}{4}$ ， $\angle \mathit{CBE}=\angle \mathit{EAF}$ 时，求 $\mathit{BD}$ 的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{CA}=\mathit{CB}$ ， $\mathit{BC}$ 与 $\odot A$ 相切于点 $D$ ，过点 $A$ 作 $\mathit{AC}$ 的垂线交 $\mathit{CB}$ 的延长线于点 $E$ ，交 $\odot A$ 于点 $F$ ，连结 $\mathit{BF}$ ．

（1）求证： $\mathit{BF}$ 是 $\odot A$ 的切线．

（2）若 $\mathit{BE}=5$ ， $\mathit{AC}=20$ ，求 $\mathit{EF}$ 的长．

如图， $\mathit{\Delta OAD}$为等腰直角三角形，延长 $\mathit{OA}$至点 $B$使 $\mathit{OB}=\mathit{OD}$， $\mathit{ABCD}$是矩形，其对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$交于点 $E$，连接 $\mathit{OE}$交 $\mathit{AD}$于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{\Delta OAF}\cong \mathit{\Delta DAB}$；

（2）求 $\frac{\mathit{DF}}{\mathit{AF}}$的值．

如图，以等边三角形 $\mathit{ABC}$ 的 $\mathit{BC}$ 边为直径画圆，交 $\mathit{AC}$ 于点 $D$ ， $\mathit{DF}\perp \mathit{AB}$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{OF}$ ，且 $\mathit{AF}=1$ ．

（1）求证： $\mathit{DF}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）求线段 $\mathit{OF}$ 的长度．

已知：如图， $E$是 $▱\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{BC}$延长线上的一点，且 $\mathit{CE}=\mathit{BC}$．

求证： $\mathit{\Delta ABC}\cong \mathit{\Delta DCE}$．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AC}=m$， $\mathit{BC}=n$， $m>n$，点 $P$是边 $\mathit{AB}$上一点，连接 $\mathit{CP}$，将 $\mathit{\Delta ACP}$沿 $\mathit{CP}$翻折得到 $\mathit{\Delta QCP}$．

（1）若 $m=4$， $n=3$，且 $\mathit{PQ}\perp \mathit{AB}$，求 $\mathit{BP}$的长；

（2）连接 $\mathit{BQ}$，若四边形 $\mathit{BCPQ}$是平行四边形，求 $m$与 $n$之间的关系式．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，点 $D$、 $E$分别在 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$上， $\mathit{BD}=\mathit{CE}$， $\mathit{BE}$、 $\mathit{CD}$相交于点 $O$．

（1）求证： $\mathit{\Delta DBC}\cong \mathit{\Delta ECB}$；

（2）求证： $\mathit{OB}=\mathit{OC}$．

在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{BC}=a$， $\mathit{AC}=b$， $\mathit{AB}=c$，若 $\angle C=90°$，如图1，则有 $a^2+b^2=c^2$；若 $\mathit{\Delta ABC}$为锐角三角形时，小明猜想： $a^2+b^2>c^2$，理由如下：如图2，过点 $A$作 $\mathit{AD}\perp \mathit{CB}$于点 $D$，设 $\mathit{CD}=x$．在 $\text{Rt}\Delta \text{ADC}$中， $A{D}^2=b^2-x^2$，在 $\text{Rt}\Delta \text{ADB}$中， $A{D}^2=c^2-{(a-x)}^2$

$\therefore a^2+b^2=c^2+2\mathit{ax}$

$\because a>0$， $x>0$

$\therefore 2\mathit{ax}>0$

$\therefore a^2+b^2>c^2$

$\therefore$当 $\mathit{\Delta ABC}$为锐角三角形时， $a^2+b^2>c^2$

所以小明的猜想是正确的．

（1）请你猜想，当 $\mathit{\Delta ABC}$为钝角三角形时， $a^2+b^2$与 $c^2$的大小关系．

（2）温馨提示：在图3中，作 $\mathit{BC}$边上的高．

（3）证明你猜想的结论是否正确．