问题提出
(1)如图①,在中,,,点关于所在直线的对称点为,则的长度为 .
问题探究
(2)如图②,半圆的直径,是的中点,点在上,且,是上的动点,试求的最小值.
问题解决
(3)如图③,扇形花坛的半径为,.根据工程需要.现想在上选点,在边上选点,在边上选点,用装饰灯带在花坛内的地面上围成一个,使晚上点亮时,花坛中的花卉依然赏心悦目.为了既节省材料,又美观大方,需使得灯带的长度最短,并且用长度最短的灯带围成的为等腰三角形.试求的值最小时的等腰的面积.(安装损耗忽略不计)
问题提出
(1)如图①,是等边三角形,,若点是的内心,则的长为 ;
问题探究
(2)如图②,在矩形中,,,如果点是边上一点,且,那么边上是否存在一点,使得线段将矩形的面积平分?若存在,求出的长;若不存在,请说明理由.
问题解决
(3)某城市街角有一草坪,草坪是由草地和弦与其所对的劣弧围成的草地组成,如图③所示.管理员王师傅在处的水管上安装了一喷灌龙头,以后,他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水,并且在用喷灌龙头浇水时,既要能确保草坪的每个角落都能浇上水,又能节约用水,于是,他让喷灌龙头的转角正好等于(即每次喷灌时喷灌龙头由转到,然后再转回,这样往复喷灌.同时,再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了.
如图③,已测出,,的面积为;过弦的中点作交于点,又测得.
请你根据以上信息,帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时,才能实现他的想法?为什么?(结果保留根号或精确到0.01米)
(1)如图①,点是外一点,点是上一动点.若的半径为3,且,则点到点的最短距离为 ;
(2)如图②,已知正方形的边长为4,点、分别从点、同时出发,以相同的速度沿边、方向向终点和运动,连接和交于点,则点到点的最短距离为 ;
(3)如图③,在等边中,,点、分别从点、同时出发,以相同的速度沿边、方向向终点和运动,连接和交于点,求面积的最大值,并说明理由.
问题提出
(1)如图①,已知 ,请画出 关于直线 对称的三角形.
问题探究
(2)如图②,在矩形 中, , , , ,是否在边 、 上分别存在点 、 ,使得四边形 的周长最小?若存在,求出它周长的最小值;若不存在,请说明理由.
问题解决
(3)如图③,有一矩形板材 , 米, 米,现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形 部件,使 , 米, ,经研究,只有当点 、 、 分别在边 、 、 上,且 ,并满足点 在矩形 内部或边上时,才有可能裁出符合要求的部件,试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形 部件?若能,求出裁得的四边形 部件的面积;若不能,请说明理由.
问题提出
(1)如图①,在 中, , 为 上一点, ,则 面积的最大值是 .
问题探究
(2)如图②,已知矩形 的周长为12,求矩形 面积的最大值.
问题解决
(3)如图③, 是葛叔叔家的菜地示意图,其中 米, 米, 米,现在他想利用周边地的情况,把原来的三角形地拓展成符合条件的面积尽可能大、周长尽可能长的四边形地,用来建鱼塘.已知葛叔叔欲建的鱼塘是四边形 ,且满足 .你认为葛叔叔的想法能否实现?若能,求出这个四边形鱼塘周长的最大值;若不能,请说明理由.
我们定义:如图1,在中,把绕点顺时针旋转得到,把绕点逆时针旋转得到,连接.当时,我们称△是的“旋补三角形”,△ 边上的中线叫做的“旋补中线”,点叫做“旋补中心”.
特例感知:
(1)在图2,图3中,△是的“旋补三角形”, 是的“旋补中线”.
①如图2,当为等边三角形时,与的数量关系为 ;
②如图3,当,时,则长为 .
猜想论证:
(2)在图1中,当为任意三角形时,猜想与的数量关系,并给予证明.
拓展应用
(3)如图4,在四边形,,,,,.在四边形内部是否存在点,使是的“旋补三角形”?若存在,给予证明,并求的“旋补中线”长;若不存在,说明理由.
如图,抛物线交轴于,两点,交轴于点.直线经过点,.
(1)求抛物线的解析式;
(2)过点的直线交直线于点.
①当时,过抛物线上一动点(不与点,重合),作直线的平行线交直线于点,若以点,,,为顶点的四边形是平行四边形,求点的横坐标;
②连接,当直线与直线的夹角等于的2倍时,请直接写出点的坐标.
如图,抛物线交轴于、两点,交轴于点,顶点的坐标为,对称轴交轴于点,直线交轴于点,交轴于点,交抛物线的对称轴于点.
(1)求出,,的值.
(2)点为抛物线对称轴上一个动点,若是以为腰的等腰三角形时,请求出点的坐标.
(3)点为抛物线上一个动点,当点关于直线的对称点恰好落在轴上时,请直接写出此时点的坐标.
如图1,直线 交 轴于点 ,交 轴于点 ,抛物线 经过点 ,交 轴于点 .点 为抛物线上一个动点,过点 作 轴的垂线 ,过点 作 于点 ,连接 ,设点 的横坐标为 .
(1)求抛物线的解析式;
(2)当 为等腰直角三角形时,求线段 的长;
(3)如图2,将 绕点 逆时针旋转,得到△ ,且旋转角 ,当点 的对应点 落在坐标轴上时,请直接写出点 的坐标.
如图,在平面直角坐标系中,抛物线与轴相交于,两点,与轴相交于点,顶点为,直线与轴相交于点.
(1)当时,抛物线顶点的坐标为 , ;
(2)的长是否与值有关,说明你的理由;
(3)设,,求的取值范围;
(4)以为斜边,在直线的左下方作等腰直角三角形.设,直接写出关于的函数解析式及自变量的取值范围.
如图1,在平面直角坐标系中,点在轴正半轴上,的长度为,以为边向上作等边三角形,抛物线经过点,,三点
(1)当时, ,当时, ;
(2)根据(1)中的结果,猜想与的关系,并证明你的结论;
(3)如图2,在图1的基础上,作轴的平行线交抛物线于、两点,的长度为,当为等腰直角三角形时,和的关系式为 ;
(4)利用(2)(3)中的结论,求与的面积比.
如图1和图2,在中,,,.点在边上,点,分别在,上,且.点从点出发沿折线匀速移动,到达点时停止;而点在边上随移动,且始终保持.
(1)当点在上时,求点与点的最短距离;
(2)若点在上,且将的面积分成上下两部分时,求的长;
(3)设点移动的路程为,当及时,分别求点到直线的距离(用含的式子表示);
(4)在点处设计并安装一扫描器,按定角扫描区域(含边界),扫描器随点从到再到共用时36秒.若,请直接写出点被扫描到的总时长.
如图,中,,,为内部一点,且.
(1)求证:;
(2)求证:;
(3)若点到三角形的边,,的距离分别为,,,求证.
已知正方形,点为边的中点.
(1)如图1,点为线段上的一点,且,延长、分别与边、交于点、.
①求证:;
②求证:.
(2)如图2,在边上取一点,满足,连接交于点,连接并延长交于点,求的值.