如图,在四边形 ABCD中,∠ B=60°,∠ D=30°, AB= BC.
(1)求∠ A+∠ C的度数;
(2)连接 BD,探究 AD, BD, CD三者之间的数量关系,并说明理由;
(3)若 AB=1,点 E在四边形 ABCD内部运动,且满足 AE 2= BE 2+ CE 2,求点 E运动路径的长度.
【问题】
如图1,在Rt△ ABC中,∠ ACB=90°, AC= BC,过点 C作直线 l平行于 AB.∠ EDF=90°,点 D在直线 l上移动,角的一边 DE始终经过点 B,另一边 DF与 AC交于点 P,研究 DP和 DB的数量关系.
【探究发现】
(1)如图2,某数学兴趣小组运用"从特殊到一般"的数学思想,发现当点 D移动到使点 P与点 C重合时,通过推理就可以得到 DP= DB,请写出证明过程;
【数学思考】
(2)如图3,若点 P是 AC上的任意一点(不含端点 A、 C),受(1)的启发,这个小组过点 D作 DG⊥ CD交 BC于点 G,就可以证明 DP= DB,请完成证明过程;
【拓展引申】
(3)如图4,在(1)的条件下, M是 AB边上任意一点(不含端点 A、 B), N是射线 BD上一点,且 AM= BN,连接 MN与 BC交于点 Q,这个数学兴趣小组经过多次取 M点反复进行实验,发现点 M在某一位置时 BQ的值最大.若 AC= BC=4,请你直接写出 BQ的最大值.
(1)【操作发现】
如图1,将△ ABC绕点 A顺时针旋转60°,得到△ ADE,连接 BD,则∠ ABD= 度.
(2)【类比探究】
如图2,在等边三角形 ABC内任取一点 P,连接 PA, PB, PC,求证:以 PA, PB, PC的长为三边必能组成三角形.
(3)【解决问题】
如图3,在边长为 的等边三角形 ABC内有一点 P,∠ APC=90°,∠ BPC=120°,求△ APC的面积.
(4)【拓展应用】
如图4是 A, B, C三个村子位置的平面图,经测量 AC=4, BC=5,∠ ACB=30°, P为△ ABC内的一个动点,连接 PA, PB, PC.求 PA+ PB+ PC的最小值.
如图1,在△ ABC中,∠ ACB=90°,∠ B=30°, AC=4, D是 AB的中点, EF是△ ACD的中位线,矩形 EFGH的顶点都在△ ACD的边上.
(1)求线段 EF、 FG的长;
(2)如图2,将矩形 EFGH沿 AB向右平移,点 F落在 BC上时停止移动,设矩形移动的距离为 x,矩形与△ CBD重叠部分的面积为 S,求出 S关于 x的函数解析式;
(3)如图3,矩形 EFGH平移停止后,再绕点 G按顺时针方向旋转,当点 H落在 CD边上时停止旋转,此时矩形记作 E 1 F 1 GH 1,设旋转角为α,求cosα的值.
【问题情景】
利用三角形的面积相等来求解的方法是一种常见的等积法,此方法是我们解决几何问题的途径之一.
例如:张老师给小聪提出这样一个问题:
如图1,在△ ABC中, AB=3, BC=6,问△ ABC的高 AD与 CE的比是多少?
小聪的计算思路是:
根据题意得: S △ ABC= BC• AD= AB• CE.
从而得2 AD= CE,∴ =
请运用上述材料中所积累的经验和方法解决下列问题:
(1)【类比探究】
如图2,在▱ ABCD中,点 E、 F分别在 AD, CD上,且 AF= CE,并相交于点 O,连接 BE、 BF,
求证: BO平分角 AOC.
(2)【探究延伸】
如图3,已知直线 m∥ n,点 A、 C是直线 m上两点,点 B、 D是直线 n上两点,点 P是线段 CD中点,且∠ APB=90°,两平行线 m、 n间的距离为4.求证: PA• PB=2 AB.
(3)【迁移应用】
如图4, E为 AB边上一点, ED⊥ AD, CE⊥ CB,垂足分别为 D, C,∠ DAB=∠ B, AB= , BC=2, AC= ,又已知 M、 N分别为 AE、 BE的中点,连接 DM、 CN.求△ DEM与△ CEN的周长之和.
如图,和是有公共顶点的等腰直角三角形,,点为射线,的交点.
(1)求证:;
(2)若,,把绕点旋转,
①当时,求的长;
②直接写出旋转过程中线段长的最小值与最大值.
已知在矩形中,的平分线与边所在的直线交于点,点是线段上一定点(其中
(1)如图1,若点在边上(不与重合),将绕点逆时针旋转后,角的两边、分别交射线于点、.
①求证:; ②探究:、、之间有怎样的数量关系,并证明你的结论.
(2)拓展:如图2,若点在的延长线上(不与重合),过点作,交射线于点,你认为(1)中、、之间的数量关系是否仍然成立?若成立,给出证明;若不成立,请写出它们所满足的数量关系式,并说明理由.
如图,在平面直角坐标系中, 为原点,四边形 是矩形,点 , 的坐标分别是 和 ,点 是对角线 上一动点(不与 , 重合),连结 ,作 ,交 轴于点 ,以线段 , 为邻边作矩形 .
(1)填空:点 的坐标为 ;
(2)是否存在这样的点 ,使得 是等腰三角形?若存在,请求出 的长度;若不存在,请说明理由;
(3)①求证: ;
②设 ,矩形 的面积为 ,求 关于 的函数关系式(可利用①的结论),并求出 的最小值.
如图,在矩形ABCD中,AB=10,AD=6,点M为AB上的一动点,将矩形ABCD沿某一直线对折,使点C与点M重合,该直线与AB(或BC)、CD(或DA)分别交于点P、Q
(1)用直尺和圆规在图甲中画出折痕所在直线(不要求写画法,但要求保留作图痕迹)
(2)如果PQ与AB、CD都相交,试判断△MPQ的形状并证明你的结论;
(3)设AM=x,d为点M到直线PQ的距离,y=d2,
①求y关于x的函数解析式,并指出x的取值范围;
②当直线PQ恰好通过点D时,求点M到直线PQ的距离.
如图,抛物线 y= ax 2+2 x﹣3与 x轴交于 A、 B两点,且 B(1,0)
(1)求抛物线的解析式和点 A的坐标;
(2)如图1,点 P是直线 y= x上的动点,当直线 y= x平分∠ APB时,求点 P的坐标;
(3)如图2,已知直线 分别与 x轴、 y轴交于 C、 F两点,点 Q是直线 CF下方的抛物线上的一个动点,过点 Q作 y轴的平行线,交直线 CF于点 D,点 E在线段 CD的延长线上,连接 QE.问:以 QD为腰的等腰△ QDE的面积是否存在最大值?若存在,请求出这个最大值;若不存在,请说明理由.
如图,点 C为△ ABD的外接圆上的一动点(点 C不在 上,且不与点 B, D重合),∠ ACB=∠ ABD=45°
(1)求证: BD是该外接圆的直径;
(2)连结 CD,求证: ;
(3)若△ ABC关于直线 AB的对称图形为△ ABM,连接 DM,试探究 DM 2, AM 2, BM 2三者之间满足的等量关系,并证明你的结论.
如图1,抛物线 交 轴于 , 两点,其中点 的坐标为 ,与 轴交于点 .
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)点 为 轴上一点,如果直线 与直线 的夹角为 ,求线段 的长度;
(3)如图2,连接 ,点 在抛物线上,且满足 ,求点 的坐标.
在平面直角坐标系中,抛物线 过点 , ,与 轴交于点 ,顶点为点 .
(1)求抛物线的解析式;
(2)点 为直线 上的一个动点,连接 ;
①如图1,是否存在点 ,使 ?若存在,求出所有满足条件的点 的坐标;若不存在,请说明理由;
②如图2,点 在 轴上方,连接 交抛物线于点 , ,点 在第三象限抛物线上,连接 ,当 时,请直接写出点 的坐标.
如图1,在平面直角坐标系中, 是坐标原点,抛物线 经过点 和点 .
(1)求抛物线的表达式;
(2)如图2,线段 绕原点 逆时针旋转 得到线段 .过点 作射线 ,点 是射线 上一点(不与点 重合),点 关于 轴的对称点为点 ,连接 , .
①直接写出 的形状为 ;
②设 的面积为 , 的面积为是 .当 时,求点 的坐标;
(3)如图3,在(2)的结论下,过点 作 ,交 的延长线于点 ,线段 绕点 逆时针旋转,旋转角为 得到线段 ,过点 作 轴,交射线 于点 , 的角平分线和 的角平分线相交于点 ,当 时,请直接写出点 的坐标为 .