如图,在平面直角坐标系中, 为原点,四边形 是矩形,点 , 的坐标分别是 和 C ( 2 3 , 0 ) ,点 是对角线 上一动点(不与 , 重合),连结 ,作 ,交 轴于点 ,以线段 , 为邻边作矩形 .
(1)填空:点 的坐标为 ;
(2)是否存在这样的点 ,使得 是等腰三角形?若存在,请求出 的长度;若不存在,请说明理由;
(3)①求证: DE DB = 3 3 ;
②设 ,矩形 的面积为 ,求 关于 的函数关系式(可利用①的结论),并求出 的最小值.
【问题情境】已知矩形的面积为a(a为常数,a>0),当该矩形的长为多少时,它的周长最小?最小值是多少?【数学模型】设该矩形的长为x,周长为y,则y与x的函数关系式为y=2(x+)(x>0).【探索研究】(1)我们可以借鉴以前研究函数的经验,先探索函数y=x+(x>0)的图象和性质.①填写下表,画出函数的图象;
②观察图象,写出该函数两条不同类型的性质;③在求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最大(小)值时,除了通过观察图象,还可以通过配方得到.请你通过配方求函数y=x+(x>0)的最小值【解决问题】(2)用上述方法解决“问题情境”中的问题,直接写出答案.
如图①,P为△ABC内一点,连接PA、PB、PC,在△PAB、△PBC和△PAC中,如果存在一个三角形与△ABC相似,那么就称P为△ABC的自相似点.(1)如图②,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC>∠A,CD是AB上的中线,过点B作BE丄CD,垂足为E.试说明E是△ABC的自相似点;(2)在△ABC中,∠A<∠B<∠C.①如图③,利用尺规作出△ABC的自相似点P(写出作法并保留作图痕迹);②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点,求该三角形三个内角的度数.
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm.P为BC的中点,动点Q从点P出发,沿射线PC方向以2cm/s的速度运动,以P为圆心,PQ长为半径作圆.设点Q运动的时间为t s.(1)当t=1.2时,判断直线AB与⊙P的位置关系,并说明理由;(2)已知⊙O为△ABC的外接圆.若⊙P与⊙O相切,求t的值.
如图,某数学课外活动小组测量电视塔AB的高度.他们借助一个高度为30m的建筑物CD进行测量,在点C处测得塔顶B的仰角为45°,在点E处测得B的仰角为37°(B、D、E三点在一条直线上).求电视塔的高度h.(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)
已知函数y=mx2﹣6x+1(m是常数).(1)求证:不论m为何值,该函数的图象都经过y轴上的一个定点;(2)若该函数的图象与x轴只有一个交点,求m的值.