初中数学三角形试题

在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．以顶点都是格点的正方形 $\mathit{ABCD}$的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点 $E$， $F$， $G$， $H$都是格点，且四边形 $\mathit{EFGH}$为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图．例如，在如图1所示的格点弦图中，正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为 $\sqrt{65}$，此时正方形 $\mathit{EFGH}$的面积为5．问：当格点弦图中的正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为 $\sqrt{65}$时，正方形 $\mathit{EFGH}$的面积的所有可能值是　　（不包括 $5)$．

如图，已知在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}>90°$，点 $D$为 $\mathit{BC}$的中点，点 $E$在 $\mathit{AC}$上，将 $\mathit{\Delta CDE}$沿 $\mathit{DE}$折叠，使得点 $C$恰好落在 $\mathit{BA}$的延长线上的点 $F$处，连接 $\mathit{AD}$，则下列结论不一定正确的是 $($　　 $)$

A． $\mathit{AE}=\mathit{EF}$B． $\mathit{AB}=2\mathit{DE}$

C． $\mathit{\Delta ADF}$和 $\mathit{\Delta ADE}$的面积相等D． $\mathit{\Delta ADE}$和 $\mathit{\Delta FDE}$的面积相等

如图， $\mathit{AD}$， $\mathit{CE}$分别是 $\mathit{\Delta ABC}$的中线和角平分线．若 $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\angle \mathit{CAD}=20°$，则 $\angle \mathit{ACE}$的度数是 $($　　 $)$

A． $20°$B． $35°$C． $40°$D． $70°$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，以点 $B$为圆心， $\mathit{BC}$长为半径画弧，交线段 $\mathit{AB}$于点 $D$；以点 $A$为圆心， $\mathit{AD}$长为半径画弧，交线段 $\mathit{AC}$于点 $E$，连接 $\mathit{CD}$．

（1）若 $\angle A=28°$，求 $\angle \mathit{ACD}$的度数．

（2）设 $\mathit{BC}=a$， $\mathit{AC}=b$．

①线段 $\mathit{AD}$的长是方程 $x^2+2\mathit{ax}-b^2=0$的一个根吗？说明理由．

②若 $\mathit{AD}=\mathit{EC}$，求 $\frac{a}{b}$的值．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\mathit{AD}$为 $\mathit{BC}$边上的中线， $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{\Delta BDE}\backsim \mathit{\Delta CAD}$．

（2）若 $\mathit{AB}=13$， $\mathit{BC}=10$，求线段 $\mathit{DE}$的长．

如图，已知点 $P$是矩形 $\mathit{ABCD}$内一点（不含边界），设 $\angle \mathit{PAD}={\theta }_1$， $\angle \mathit{PBA}={\theta }_2$， $\angle \mathit{PCB}={\theta }_3$， $\angle \mathit{PDC}={\theta }_4$，若 $\angle \mathit{APB}=80°$， $\angle \mathit{CPD}=50°$，则 $($　　 $)$

A． $({\theta }_1+{\theta }_4)-({\theta }_2+{\theta }_3)=30°$B． $({\theta }_2+{\theta }_4)-({\theta }_1+{\theta }_3)=40°$

C． $({\theta }_1+{\theta }_2)-({\theta }_3+{\theta }_4)=70°$D． $({\theta }_1+{\theta }_2)+({\theta }_3+{\theta }_4)=180°$

若线段 $\mathit{AM}$， $\mathit{AN}$分别是 $\mathit{\Delta ABC}$的 $\mathit{BC}$边上的高线和中线，则 $($　　 $)$

A． $\mathit{AM}>\mathit{AN}$B． $\mathit{AM}⩾\mathit{AN}$C． $\mathit{AM}<\mathit{AN}$D． $\mathit{AM}⩽\mathit{AN}$

已知：如图， $E$、 $F$是平行四边形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$上的两点， $\mathit{AE}=\mathit{CF}$．

求证：（1） $\mathit{\Delta ADF}\cong \mathit{\Delta CBE}$；

（2） $\mathit{EB}//\mathit{DF}$．

阅读下列题目的解题过程：

已知 $a$、 $b$、 $c$为 $\mathit{\Delta ABC}$的三边，且满足 $a^2{c}^2-b^2{c}^2=a^4-b^4$，试判断 $\mathit{\Delta ABC}$的形状．

解： $\because a^2{c}^2-b^2{c}^2=a^4-b^4$（A）

$\therefore c^2(a^2-b^2)=(a^2+b^2)(a^2-b^2)$ （B）

$\therefore c^2=a^2+b^2$（C）

$\therefore \mathit{\Delta ABC}$是直角三角形

问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：　　；

（2）错误的原因为：　　；

（3）本题正确的结论为：　　．

如图直角梯形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}//\mathit{BC}$， $\mathit{AB}\perp \mathit{BC}$， $\mathit{AD}=2$， $\mathit{BC}=3$，将腰 $\mathit{CD}$以 $D$为中心逆时针旋转 $90°$至 $\mathit{ED}$，连 $\mathit{AE}$、 $\mathit{CE}$，则 $\mathit{\Delta ADE}$的面积是 $($　　 $)$

A．1B．2C．3D．不能确定

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\odot O$（圆心 $O$在 $\mathit{\Delta ABC}$内部）经过 $B$、 $C$两点，交 $\mathit{AB}$于点 $E$，过点 $E$作 $\odot O$的切线交 $\mathit{AC}$于点 $F$．延长 $\mathit{CO}$交 $\mathit{AB}$于点 $G$，作 $\mathit{ED}//\mathit{AC}$交 $\mathit{CG}$于点 $D$

（1）求证：四边形 $\mathit{CDEF}$是平行四边形；

（2）若 $\mathit{BC}=3$， $\tan \angle \mathit{DEF}=2$，求 $\mathit{BG}$的值．

如图，在五边形 $\mathit{ABCDE}$中， $\angle \mathit{BCD}=\angle \mathit{EDC}=90°$， $\mathit{BC}=\mathit{ED}$， $\mathit{AC}=\mathit{AD}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABC}\cong \mathit{\Delta AED}$；

（2）当 $\angle B=140°$时，求 $\angle \mathit{BAE}$的度数．

四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形 $\mathit{ABCD}$，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为 $S$的小正方形 $\mathit{EFGH}$．已知 $\mathit{AM}$为 $\text{Rt}\Delta \text{ABM}$较长直角边， $\mathit{AM}=2\sqrt{2}\mathit{EF}$，则正方形 $\mathit{ABCD}$的面积为 $($　　 $)$

A． $12S$B． $10S$C． $9S$D． $8S$

如图，已知等腰直角三角形 $\mathit{ABC}$，点 $P$是斜边 $\mathit{BC}$上一点（不与 $B$， $C$重合）， $\mathit{PE}$是 $\mathit{\Delta ABP}$的外接圆 $\odot O$的直径．

（1）求证： $\mathit{\Delta APE}$是等腰直角三角形；

（2）若 $\odot O$的直径为2，求 $P{C}^2+P{B}^2$的值．

如图，已知等腰三角形 $\mathit{ABC}$， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$．若以点 $B$为圆心， $\mathit{BC}$长为半径画弧，交腰 $\mathit{AC}$于点 $E$，则下列结论一定正确的是 $($　　 $)$

A． $\mathit{AE}=\mathit{EC}$B． $\mathit{AE}=\mathit{BE}$C． $\angle \mathit{EBC}=\angle \mathit{BAC}$D． $\angle \mathit{EBC}=\angle \mathit{ABE}$