如图，在ΔABC中，∠ACB90°，以点B为圆心，BC长为半

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图，在 $ΔABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ，以点 $B$ 为圆心， $BC$ 长为半径画弧，交线段 $AB$ 于点 $D$ ；以点 $A$ 为圆心， $AD$ 长为半径画弧，交线段 $AC$ 于点 $E$ ，连接 $CD$ ．

（1）若 $∠ A = 28 °$ ，求 $∠ ACD$ 的度数．

（2）设 $BC = a$ ， $AC = b$ ．

①线段 $AD$ 的长是方程 $x^{2} + 2 ax - b^{2} = 0$ 的一个根吗？说明理由．

②若 $AD = EC$ ，求 $\frac{a}{b}$ 的值．

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如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ，点 $D$ 是 $BC$ 边长一点， $DE ⊥ AB$ ，垂足为点 $E$ ，点 $O$ 在线段 $ED$ 的延长线上，且 $⊙ O$ 经过 $C$ ， $D$ 两点．

（1）判断直线 $AC$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；

（2）若 $⊙ O$ 的半径为2， $\hat{CD}$ 的长为 $\frac{10}{9} π$ ，请求出 $∠ A$ 的度数．

题型：未知
难度：未知

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某数学小组开展测量物体高度的实践活动，他们要测量某建筑物上悬挂的电子显示屏的高度．如图所示，他们先在点 $A$ 测得电子显示屏底端点 $D$ 的仰角 $∠ DAC = 15 °$ ，然后向建筑物的方向前进 $10 m$ 到达点 $B$ ，又测得电子显示屏顶端点 $E$ 的仰角 $∠ EBC = 45 °$ ，测得电子显示屏底端点 $D$ 的仰角 $∠ DBC = 30 °$ ．（点 $A$ ， $B$ ， $C$ 在同一条直线上，且与点 $D$ ， $E$ 在同一平面内，不考虑测角仪高度）

（1）求此时他们离建筑的距离 $BC$ 的长；

（2）求电子显示屏 $DE$ 的高度．

（以上结果用含根号的式子表示）

题型：未知
难度：未知

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为提高中小学生的身体素质，各校大力开展校园足球活动，某体育用品商店抓住这一商机，第一次用30000元购进 $A$ ， $B$ 两种型号的足球，并很快销售完毕，共获利12200元，其进价和售价如下表：

	$A$	$B$
进价（元 $/$ 个）	120	200
售价（元 $/$ 个）	170	280

（1）该体育用品商店购进 $A$ ， $B$ 两种型号的足球各多少个？

（2）该体育用品商店第二次准备用不超过40000元的资金再次购进 $A$ ， $B$ 两种型号的足球共260个，最少购进 $A$ 种型号的足球多少个？

题型：未知
难度：未知

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为进一步发展学生特长，某校要开设编织、摄影、航模、机器人四门校本课程，规定每名学生必须且只能选修一门校本课程，学校对学生选修本课程的情况进行了抽样调查，根据调查结果绘制了下面两幅不完整的统计图．

请你根据统计图提供的信息，解答下列问题．

（1）本次调查，一共调查了　　名学生；

（2）补全条形统计图和扇形统计图；

（3）若该学校共有1700名学生据此估计有多少名学生选修航模；

（4）将2名选修摄影的学生和2名选修编织的学生编为一组，从中随机抽取2人，请用列表或画树状图的方法求出2人都选修编织的概率．

题型：未知
难度：未知

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如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + bx + \sqrt{3}$ （其中 $a$ 、 $b$ 为常数， $a \neq 0)$ 经过点 $A (- 1, 0)$ 和点 $B (3, 0)$ ，且与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $D$ 为对称轴与直线 $BC$ 的交点．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）抛物线上存在点 $P$ ，使得 $ΔDPB ∽ ΔACB$ ，求点 $P$ 的坐标；

（3）若点 $Q$ 为点 $O$ 关于直线 $BC$ 的对称点，点 $M$ 为直线 $BC$ 上一点，点 $N$ 为坐标平面内一点，是否存在这样的点 $M$ 和点 $N$ ，使得以 $Q$ 、 $B$ 、 $M$ 、 $N$ 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点 $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

题型：未知
难度：未知

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