初中数学二次函数综合题解答题

如图，已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的图象经过 $A(-1,0)$、 $B(4,0)$、 $C(0,2)$三点．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）点 $D$是该二次函数图象上的一点，且满足 $\angle \mathit{DBA}=\angle \mathit{CAO}(O$是坐标原点），求点 $D$的坐标；

（3）点 $P$是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接 $\mathit{PA}$分别交 $\mathit{BC}$、 $y$轴于点 $E$、 $F$，若 $\mathit{\Delta PEB}$、 $\mathit{\Delta CEF}$的面积分别为 $S_1$、 $S_2$，求 $S_1-S_2$的最大值．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}$经过 $\mathit{\Delta OAB}$的三个顶点，其中点 $A(1,\sqrt{3})$，点 $B(3,-\sqrt{3})$， $O$为坐标原点．

（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；

（2）若 $P(4,m)$， $Q(t,n)$为该抛物线上的两点，且 $n<m$，求 $t$的取值范围；

（3）若 $C$为线段 $\mathit{AB}$上的一个动点，当点 $A$，点 $B$到直线 $\mathit{OC}$的距离之和最大时，求 $\angle \mathit{BOC}$的大小及点 $C$的坐标．

如图1，已知二次函数 $y=a{x}^2+\frac{3}{2}x+c(a\ne 0)$的图象与 $y$轴交于点 $A(0,4)$，与 $x$轴交于点 $B$、 $C$，点 $C$坐标为 $(8,0)$，连接 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$．

（1）请直接写出二次函数 $y=a{x}^2+\frac{3}{2}x+c$的表达式；

（2）判断 $\mathit{\Delta ABC}$的形状，并说明理由；

（3）若点 $N$在 $x$轴上运动，当以点 $A$、 $N$、 $C$为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点 $N$的坐标；

（4）如图2，若点 $N$在线段 $\mathit{BC}$上运动（不与点 $B$、 $C$重合），过点 $N$作 $\mathit{NM}//\mathit{AC}$，交 $\mathit{AB}$于点 $M$，当 $\mathit{\Delta AMN}$面积最大时，求此时点 $N$的坐标．

如图1，抛物线 $y=a{x}^2+2x+c$与 $x$轴交于 $A(-4,0)$， $B(1,0)$两点，过点 $B$的直线 $y=\mathit{kx}+\frac{2}{3}$分别与 $y$轴及抛物线交于点 $C$， $D$．

（1）求直线和抛物线的表达式；

（2）动点 $P$从点 $O$出发，在 $x$轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为 $t$秒，当 $t$为何值时， $\mathit{\Delta PDC}$为直角三角形？请直接写出所有满足条件的 $t$的值；

（3）如图2，将直线 $\mathit{BD}$沿 $y$轴向下平移4个单位后，与 $x$轴， $y$轴分别交于 $E$， $F$两点，在抛物线的对称轴上是否存在点 $M$，在直线 $\mathit{EF}$上是否存在点 $N$，使 $\mathit{DM}+\mathit{MN}$的值最小？若存在，求出其最小值及点 $M$， $N$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，抛物线 $y_1=a{x}^2-\frac{1}{2}x+c$与 $x$轴交于点 $A$和点 $B(1,0)$，与 $y$轴交于点 $C(0,\frac{3}{4})$，抛物线 $y_1$的顶点为 $G$， $\mathit{GM}\perp x$轴于点 $M$．将抛物线 $y_1$平移后得到顶点为 $B$且对称轴为直线 $l$的抛物线 $y_2$．

（1）求抛物线 $y_2$的解析式；

（2）如图2，在直线 $l$上是否存在点 $T$，使 $\mathit{\Delta TAC}$是等腰三角形？若存在，请求出所有点 $T$的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）点 $P$为抛物线 $y_1$上一动点，过点 $P$作 $y$轴的平行线交抛物线 $y_2$于点 $Q$，点 $Q$关于直线 $l$的对称点为 $R$，若以 $P$， $Q$， $R$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta AMG}$全等，求直线 $\mathit{PR}$的解析式．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$与 $x$轴交于点 $A(-4,0)$， $B(2,0)$，与 $y$轴交于点 $C(0,4)$，线段 $\mathit{BC}$的中垂线与对称轴 $l$交于点 $D$，与 $x$轴交于点 $F$，与 $\mathit{BC}$交于点 $E$，对称轴 $l$与 $x$轴交于点 $H$．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）求点 $D$的坐标；

（3）点 $P$为 $x$轴上一点， $\odot P$与直线 $\mathit{BC}$相切于点 $Q$，与直线 $\mathit{DE}$相切于点 $R$．求点 $P$的坐标；

（4）点 $M$为 $x$轴上方抛物线上的点，在对称轴 $l$上是否存在一点 $N$，使得以点 $D$， $P$， $M$， $N$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，则直接写出 $N$点坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，且 $\mathit{OA}=2$， $\mathit{OB}=8$， $\mathit{OC}=6$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $M$从 $A$点出发，在线段 $\mathit{AB}$上以每秒3个单位长度的速度向 $B$点运动，同时，点 $N$从 $B$出发，在线段 $\mathit{BC}$上以每秒1个单位长度的速度向 $C$点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当 $\mathit{\Delta MBN}$存在时，求运动多少秒使 $\mathit{\Delta MBN}$的面积最大，最大面积是多少？

（3）在（2）的条件下， $\mathit{\Delta MBN}$面积最大时，在 $\mathit{BC}$上方的抛物线上是否存在点 $P$，使 $\mathit{\Delta BPC}$的面积是 $\mathit{\Delta MBN}$面积的9倍？若存在，求点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，抛物线 $C_1:y=x^2+\mathit{ax}$与 $C_2:y=-x^2+\mathit{bx}$相交于点 $O$、 $C$， $C_1$与 $C_2$分别交 $x$轴于点 $B$、 $A$，且 $B$为线段 $\mathit{AO}$的中点．

（1）求 $\frac{a}{b}$的值；

（2）若 $\mathit{OC}\perp \mathit{AC}$，求 $\mathit{\Delta OAC}$的面积；

（3）抛物线 $C_2$的对称轴为 $l$，顶点为 $M$，在（2）的条件下：

①点 $P$为抛物线 $C_2$对称轴 $l$上一动点，当 $\mathit{\Delta PAC}$的周长最小时，求点 $P$的坐标；

②如图2，点 $E$在抛物线 $C_2$上点 $O$与点 $M$之间运动，四边形 $\mathit{OBCE}$的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值和点 $E$的坐标；若不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3$与 $x$轴交于点 $A(-3,0)$、 $B(1,0)$，交 $y$轴于点 $N$，点 $M$为抛物线的顶点，对称轴与 $x$轴交于点 $C$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，连接 $\mathit{AM}$，点 $E$是线段 $\mathit{AM}$上方抛物线上一动点， $\mathit{EF}\perp \mathit{AM}$于点 $F$，过点 $E$作 $\mathit{EH}\perp x$轴于点 $H$，交 $\mathit{AM}$于点 $D$．点 $P$是 $y$轴上一动点，当 $\mathit{EF}$取最大值时：

①求 $\mathit{PD}+\mathit{PC}$的最小值；

②如图2， $Q$点为 $y$轴上一动点，请直接写出 $\mathit{DQ}+\frac{1}{4}\mathit{OQ}$的最小值．

如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点 $(2,1)$在二次函数的图象上，过点 $F(0,1)$作 $x$轴的平行线交二次函数的图象于 $M$、 $N$两点．

（1）求二次函数的表达式；

（2） $P$为平面内一点，当 $\mathit{\Delta PMN}$是等边三角形时，求点 $P$的坐标；

（3）在二次函数的图象上是否存在一点 $E$，使得以点 $E$为圆心的圆过点 $F$和点 $N$，且与直线 $y=-1$相切．若存在，求出点 $E$的坐标，并求 $\odot E$的半径；若不存在，说明理由．

已知二次函数 $y=a{x}^2+2x+c(a\ne 0)$的图象与 $x$轴的交于 $A$、 $B(1,0)$两点，与 $y$轴交于点 $C(0,-3)$，

（1）求二次函数的表达式及 $A$点坐标；

（2） $D$是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点 $D$到直线 $\mathit{AC}$的距离取得最大值时点 $D$的坐标；

（3） $M$是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点 $N$，使以 $M$、 $N$、 $B$、 $O$为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点 $N$的坐标（不写求解过程）．

在平面直角坐标系中，我们定义直线 $y=\mathit{ax}-a$为抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a$、 $b$、 $c$为常数， $a\ne 0)$的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在 $y$轴上的三角形为其“梦想三角形”．

已知抛物线 $y=-\frac{2\sqrt{3}}{3}{x}^2-\frac{4\sqrt{3}}{3}x+2\sqrt{3}$与其“梦想直线”交于 $A$、 $B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $x$轴负半轴交于点 $C$．

（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为　         　，点 $A$的坐标为　   　，点 $B$的坐标为　   　；

（2）如图，点 $M$为线段 $\mathit{CB}$上一动点，将 $\mathit{\Delta ACM}$以 $\mathit{AM}$所在直线为对称轴翻折，点 $C$的对称点为 $N$，若 $\mathit{\Delta AMN}$为该抛物线的“梦想三角形”，求点 $N$的坐标；

（3）当点 $E$在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点 $F$，使得以点 $A$、 $C$、 $E$、 $F$为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点 $E$、 $F$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的图象经过 $A(1,0)$， $B(3,0)$， $C(0,6)$三点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）抛物线的顶点 $M$与对称轴 $l$上的点 $N$关于 $x$轴对称，直线 $\mathit{AN}$交抛物线于点 $D$，直线 $\mathit{BE}$交 $\mathit{AD}$于点 $E$，若直线 $\mathit{BE}$将 $\mathit{\Delta ABD}$的面积分为 $1:2$两部分，求点 $E$的坐标．

（3） $P$为抛物线上的一动点， $Q$为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点 $P$，使 $A$、 $D$、 $P$、 $Q$为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$经过 $A(-1,0)$、 $B(4,0)$、 $C(0,2)$三点，点 $D(x,y)$为抛物线上第一象限内的一个动点．

（1）求抛物线所对应的函数表达式；

（2）当 $\mathit{\Delta BCD}$的面积为3时，求点 $D$的坐标；

（3）过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{BC}$，垂足为点 $E$，是否存在点 $D$，使得 $\mathit{\Delta CDE}$中的某个角等于 $\angle \mathit{ABC}$的2倍？若存在，求点 $D$的横坐标；若不存在，请说明理由．

出关于 $x$的一元二次方程，解之取其非零值可得出点 $D$的横坐标．依此即可得解．

已知，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3(a<0)$与 $x$轴交于 $A(3,0)$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，抛物线的对称轴是直线 $x=1$， $D$为抛物线的顶点，点 $E$在 $y$轴 $C$点的上方，且 $\mathit{CE}=\frac{1}{2}$．

（1）求抛物线的解析式及顶点 $D$的坐标；

（2）求证：直线 $\mathit{DE}$是 $\mathit{\Delta ACD}$外接圆的切线；

（3）在直线 $\mathit{AC}$上方的抛物线上找一点 $P$，使 $S_{\mathit{\Delta ACP}}=\frac{1}{2}{S}_{\mathit{\Delta ACD}}$，求点 $P$的坐标；

（4）在坐标轴上找一点 $M$，使以点 $B$、 $C$、 $M$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ACD}$相似，直接写出点 $M$的坐标．