如图,在平面直角坐标系中,四边形 的边 在 轴上,点 在 轴的负半轴上,直线 ,且 , ,将经过 、 两点的直线 向右平移,平移后的直线与 轴交于点 ,与直线 交于点 ,设 的长为 .
(1)四边形 的面积为 ;
(2)设四边形 被直线 扫过的面积(阴影部分)为 ,请直接写出 关于 的函数解析式;
(3)当 时,直线 上有一动点 ,作 直线 于点 ,交 轴于点 ,将 沿直线 折叠得到 ,探究:是否存在点 ,使点 恰好落在坐标轴上?若存在,请求出点 的坐标;若不存在,请说明理由.
在平面直角坐标系中,我们定义直线 为抛物线 、 、 为常数, 的“梦想直线”;有一个顶点在抛物线上,另有一个顶点在 轴上的三角形为其“梦想三角形”.
已知抛物线 与其“梦想直线”交于 、 两点(点 在点 的左侧),与 轴负半轴交于点 .
(1)填空:该抛物线的“梦想直线”的解析式为 ,点 的坐标为 ,点 的坐标为 ;
(2)如图,点 为线段 上一动点,将 以 所在直线为对称轴翻折,点 的对称点为 ,若 为该抛物线的“梦想三角形”,求点 的坐标;
(3)当点 在抛物线的对称轴上运动时,在该抛物线的“梦想直线”上,是否存在点 ,使得以点 、 、 、 为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点 、 的坐标;若不存在,请说明理由.
如图,抛物线 的图象经过 , , 三点.
(1)求抛物线的解析式.
(2)抛物线的顶点 与对称轴 上的点 关于 轴对称,直线 交抛物线于点 ,直线 交 于点 ,若直线 将 的面积分为 两部分,求点 的坐标.
(3) 为抛物线上的一动点, 为对称轴上动点,抛物线上是否存在一点 ,使 、 、 、 为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出点 的坐标;若不存在,请说明理由.
抛物线 与 轴交于 , ,与 轴交于 .
(1)若 ,求抛物线的解析式,并写出抛物线的对称轴;
(2)如图1,在(1)的条件下,设抛物线的对称轴交 轴于 ,在对称轴左侧的抛物线上有一点 ,使 ,求点 的坐标;
(3)如图2,设 , 轴于 ,在线段 上是否存在点 ,使 ?若存在,求 的取值范围;若不存在,请说明理由.
如图,抛物线 经过 、 、 三点,点 为抛物线上第一象限内的一个动点.
(1)求抛物线所对应的函数表达式;
(2)当 的面积为3时,求点 的坐标;
(3)过点 作 ,垂足为点 ,是否存在点 ,使得 中的某个角等于 的2倍?若存在,求点 的横坐标;若不存在,请说明理由.
出关于 的一元二次方程,解之取其非零值可得出点 的横坐标.依此即可得解.
如图,已知抛物线 过点 , ,过定点 的直线 与抛物线交于 、 两点,点 在点 的右侧,过点 作 轴的垂线,垂足为 .
(1)求抛物线的解析式;
(2)当点 在抛物线上运动时,判断线段 与 的数量关系 、 、 ,并证明你的判断;
(3) 为 轴上一点,以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形,设点 ,求自然数 的值;
(4)若 ,在直线 下方的抛物线上是否存在点 ,使得 的面积最大?若存在,求出点 的坐标及 的最大面积;若不存在,请说明理由.
已知,抛物线 与 轴交于 、 两点,与 轴交于点 ,抛物线的对称轴是直线 , 为抛物线的顶点,点 在 轴 点的上方,且 .
(1)求抛物线的解析式及顶点 的坐标;
(2)求证:直线 是 外接圆的切线;
(3)在直线 上方的抛物线上找一点 ,使 ,求点 的坐标;
(4)在坐标轴上找一点 ,使以点 、 、 为顶点的三角形与 相似,直接写出点 的坐标.
如图1,抛物线 与 轴交于 、 两点,与 轴交于点 ,已知点 坐标为 ,点 坐标为 .
(1)求抛物线的表达式;
(2)点 为直线 上方抛物线上的一个动点,当 的面积最大时,求点 的坐标;
(3)如图2,点 为该抛物线的顶点,直线 轴于点 ,在直线 上是否存在点 ,使点 到直线 的距离等于点 到点 的距离?若存在,求出点 的坐标;若不存在,请说明理由.
如图,已知抛物线 经过 , , 三点.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)经过点 的直线交 轴于点 ,交线段 于点 ,若 .
①求直线 的解析式;
②已知点 在该抛物线的对称轴 上,且纵坐标为1,点 是该抛物线上位于第一象限的动点,且在 右侧,点 是直线 上的动点,若 是以点 为直角顶点的等腰直角三角形,求点 的坐标.
如图,二次函数 的图象过 、 、 , 三点.
(1)求二次函数的解析式;
(2)若线段 的垂直平分线与 轴交于点 ,与二次函数的图象在 轴上方的部分相交于点 ,求直线 的解析式;
(3)在直线 下方的二次函数的图象上有一动点 ,过点 作 轴,交直线 于 ,当线段 的长最大时,求点 的坐标.
如图所示,二次函数 的图象与一次函数 的图象交于 、 两点,点 在点 的右侧,直线 分别与 、 轴交于 、 两点,其中 .
(1)求 、 两点的横坐标;
(2)若 是以 为腰的等腰三角形,求 的值;
(3)二次函数图象的对称轴与 轴交于点 ,是否存在实数 ,使得 ,若存在,求出 的值;若不存在,说明理由.
已知抛物线 与 轴交于 , 两点, 为抛物线的顶点,抛物线的对称轴交 轴于点 ,连结 ,且 ,如图所示.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设 是抛物线的对称轴上的一个动点.
①过点 作 轴的平行线交线段 于点 ,过点 作 交抛物线于点 ,连结 、 ,求 的面积的最大值;
②连结 ,求 的最小值.
如图,在平面直角坐标系 中,直线 分别交 轴、 轴于 , 两点,经过 , 两点的抛物线 与 轴的正半轴相交于点 .
(1)求抛物线的解析式;
(2)若 为线段 上一点, ,求 的长;
(3)在(2)的条件下,设 是 轴上一点,试问:抛物线上是否存在点 ,使得以 , , , 为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出点 的坐标;若不存在,请说明理由.
如图,抛物线 交 轴于 、 两点,其中点 坐标为 ,与 轴交于点 .
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)如图①,连接 ,点 在抛物线上,且满足 .求点 的坐标;
(3)如图②,点 为 轴下方抛物线上任意一点,点 是抛物线对称轴与 轴的交点,直线 、 分别交抛物线的对称轴于点 、 .请问 是否为定值?如果是,请求出这个定值;如果不是,请说明理由.