初中数学抛物线与x轴的交点试题

如图1，的三个顶点、、分别落在抛物线的图象上，点的横坐标为，点的纵坐标为．（点在点的左侧）

（1）求点、的坐标；

（2）将绕点逆时针旋转得到△，抛物线经过、两点，已知点为抛物线的对称轴上一定点，且点恰好在以为直径的圆上，连接、，求△的面积；

（3）如图2，延长交抛物线于点，连接，在坐标轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与△相似．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象经过 $(-2,1)$， $(2,-3)$两点．

（1）求 $b$的值；

（2）当 $c>-1$时，该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是 　1　．

（3）设 $(m,0)$是该函数的图象与 $x$轴的一个公共点．当 $-1<m<3$时，结合函数的图象，直接写出 $a$的取值范围．

综合与探究

如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，．点是第四象限内抛物线上的一个动点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为点，交于点，过点作交轴于点，交于点．

（1）求，，三点的坐标；

（2）试探究在点运动的过程中，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）请用含的代数式表示线段的长，并求出为何值时有最大值．

二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$ 的部分图象如图所示，对称轴为 $x=\frac{1}{2}$ ，且经过点 $(2,0)$ ．下列说法：① $\mathit{abc}<0$ ；② $-2b+c=0$ ；③ $4a+2b+c<0$ ；④若 $(-\frac{1}{2}$ ， $y_1)$ ， $(\frac{5}{2}$ ， $y_2)$ 是抛物线上的两点，则 $y_1<y_2$ ；⑤ $\frac{1}{4}b+c>m(\mathit{am}+b)+c$ （其中 $m\ne \frac{1}{2})$ ．正确的结论有 $($ 　　 $)$

A．

2个

B．

3个

C．

4个

D．

5个

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(b<0)$ 与 $x$ 轴只有一个公共点．

（1）若抛物线与 $x$ 轴的公共点坐标为 $(2,0)$ ，求 $a$ 、 $c$ 满足的关系式；

（2）设 $A$ 为抛物线上的一定点，直线 $l:y=\mathit{kx}+1-k$ 与抛物线交于点 $B$ 、 $C$ ，直线 $\mathit{BD}$ 垂直于直线 $y=-1$ ，垂足为点 $D$ ．当 $k=0$ 时，直线 $l$ 与抛物线的一个交点在 $y$ 轴上，且 $\mathit{\Delta ABC}$ 为等腰直角三角形．

①求点 $A$ 的坐标和抛物线的解析式；

②证明：对于每个给定的实数 $k$ ，都有 $A$ 、 $D$ 、 $C$ 三点共线．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(b<0)$与 $x$轴只有一个公共点．

（1）若抛物线与 $x$轴的公共点坐标为 $(2,0)$，求 $a$、 $c$满足的关系式；

（2）设 $A$为抛物线上的一定点，直线 $l:y=\mathit{kx}+1-k$与抛物线交于点 $B$、 $C$，直线 $\mathit{BD}$垂直于直线 $y=-1$，垂足为点 $D$．当 $k=0$时，直线 $l$与抛物线的一个交点在 $y$轴上，且 $\mathit{\Delta ABC}$为等腰直角三角形．

①求点 $A$的坐标和抛物线的解析式；

②证明：对于每个给定的实数 $k$，都有 $A$、 $D$、 $C$三点共线．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$ 与 $x$ 轴的交点为 $A(1,0)$ 和 $B(3,0)$ ，点 $P_1(x_1$ ， $y_1)$ ， $P_2(x_2$ ， $y_2)$ 是抛物线上不同于 $A$ ， $B$ 的两个点，记△ $P_1\mathit{AB}$ 的面积为 $S_1$ ，△ $P_2\mathit{AB}$ 的面积为 $S_2$ ，有下列结论：①当 $x_1>x_2+2$ 时， $S_1>S_2$ ；②当 $x_1<2-x_2$ 时， $S_1<S_2$ ；③当 $|x_1-2|>|x_2-2|>1$ 时， $S_1>S_2$ ；④当 $|x_1-2|>|x_2+2|>1$ 时， $S_1<S_2$ ．其中正确结论的个数是 $($ 　　 $)$

A．

1

B．

2

C．

3

D．

4

已知抛物线 $y=x^2-2x-3$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧）与 $y$轴交于点 $C$，点 $D(4,y)$在抛物线上， $E$是该抛物线对称轴上一动点，当 $\mathit{BE}+\mathit{DE}$的值最小时， $\mathit{\Delta ACE}$的面积为 　　．

已知二次函数 $y=-x^2+\mathit{bx}+c+1$，

①当 $b=1$时，求这个二次函数的对称轴的方程；

②若 $c=-\frac{1}{4}{b}^2-2b$，问： $b$为何值时，二次函数的图象与 $x$轴相切？

③若二次函数的图象与 $x$轴交于点 $A(x_1$， $0)$， $B(x_2$， $0)$，且 $x_1<x_2$， $b>0$，与 $y$轴的正半轴交于点 $M$，以 $\mathit{AB}$为直径的半圆恰好过点 $M$，二次函数的对称轴 $l$与 $x$轴、直线 $\mathit{BM}$、直线 $\mathit{AM}$分别交于点 $D$、 $E$、 $F$，且满足 $\frac{\mathit{DE}}{\mathit{EF}}=\frac{1}{3}$，求二次函数的表达式．

在平面直角坐标系中，抛物线 $y_1=-(x+4)(x-n)$与 $x$轴交于点 $A$和点 $B(n$， $0\left)\right(n⩾-4)$，顶点坐标记为 $(h_1$， $k_1)$．抛物线 $y_2=-{(x+2n)}^2-n^2+2n+9$的顶点坐标记为 $(h_2$， $k_2)$．

（1）写出 $A$点坐标；

（2）求 $k_1$， $k_2$的值（用含 $n$的代数式表示）

（3）当 $-4⩽n⩽4$时，探究 $k_1$与 $k_2$的大小关系；

（4）经过点 $M(2n+9,-5n^2)$和点 $N(2n,9-5n^2)$的直线与抛物线 $y_1=-(x+4)(x-n)$， $y_2=-{(x+2n)}^2-n^2+2n+9$的公共点恰好为3个不同点时，求 $n$的值．

抛物线 $y=x^2-1$交 $x$轴于 $A$， $B$两点 $(A$在 $B$的左边）．

（1） $▱\mathit{ACDE}$的顶点 $C$在 $y$轴的正半轴上，顶点 $E$在 $y$轴右侧的抛物线上；

①如图（1），若点 $C$的坐标是 $(0,3)$，点 $E$的横坐标是 $\frac{3}{2}$，直接写出点 $A$， $D$的坐标．

②如图（2），若点 $D$在抛物线上，且 $▱\mathit{ACDE}$的面积是12，求点 $E$的坐标．

（2）如图（3）， $F$是原点 $O$关于抛物线顶点的对称点，不平行 $y$轴的直线 $l$分别交线段 $\mathit{AF}$， $\mathit{BF}$（不含端点）于 $G$， $H$两点．若直线 $l$与抛物线只有一个公共点，求证： $\mathit{FG}+\mathit{FH}$的值是定值．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{kx}+h(a>0)$．

（1）通过配方可以将其化成顶点式为 　　，根据该抛物线在对称轴两侧从左到右图象的特征，可以判断，当顶点在 $x$轴 　　（填上方或下方），即 $4\mathit{ah}-k^2$　　0（填大于或小于）时，该抛物线与 $x$轴必有两个交点；

（2）若抛物线上存在两点 $A(x_1$， $y_1)$， $B(x_2$， $y_2)$，分布在 $x$轴的两侧，则抛物线顶点必在 $x$轴下方，请你结合 $A$、 $B$两点在抛物线上的可能位置，根据二次函数的性质，对这个结论的正确性给以说明；（为了便于说明，不妨设 $x_1<x_2$且都不等于顶点的横坐标；另如果需要借助图象辅助说明，可自己画出简单示意图）

（3）根据二次函数（1）（2）结论，求证：当 $a>0$， $(a+c)(a+b+c)<0$时， ${(b-c)}^2>4a(a+b+c)$．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴只有一个公共点．

（1）若抛物线过点 $P(0,1)$，求 $a+b$的最小值；

（2）已知点 $P_1(-2,1)$， $P_2(2,-1)$， $P_3(2,1)$中恰有两点在抛物线上．

①求抛物线的解析式；

②设直线 $l:y=\mathit{kx}+1$与抛物线交于 $M$， $N$两点，点 $A$在直线 $y=-1$上，且 $\angle \mathit{MAN}=90°$，过点 $A$且与 $x$轴垂直的直线分别交抛物线和 $l$于点 $B$， $C$．求证： $\mathit{\Delta MAB}$与 $\mathit{\Delta MBC}$的面积相等．

已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a>0)$ ．

（1）若 $a=\frac{1}{2}$ ， $b=c=-2$ ，求方程 $a{x}^2+\mathit{bx}+c=0$ 的根的判别式的值；

（2）如图所示，该二次函数的图象与 $x$ 轴交于点 $A(x_1$ ， $0)$ 、 $B(x_2$ ， $0)$ ，且 $x_1<0<x_2$ ，与 $y$ 轴的负半轴交于点 $C$ ，点 $D$ 在线段 $\mathit{OC}$ 上，连接 $\mathit{AC}$ 、 $\mathit{BD}$ ，满足 $\angle \mathit{ACO}=\angle \mathit{ABD}$ ， $-\frac{b}{a}+c=x_1$ ．

①求证： $\mathit{\Delta AOC}\cong \mathit{\Delta DOB}$ ；

②连接 $\mathit{BC}$ ，过点 $D$ 作 $\mathit{DE}\perp \mathit{BC}$ 于点 $E$ ，点 $F(0,x_1-x_2)$ 在 $y$ 轴的负半轴上，连接 $\mathit{AF}$ ，且 $\angle \mathit{ACO}=\angle \mathit{CAF}+\angle \mathit{CBD}$ ，求 $\frac{c}{x_1}$ 的值．

在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为"雁点"．例如 $(1,1)$ ， $(2021,2021)\dots$ 都是"雁点"．

（1）求函数 $y=\frac{4}{x}$ 图象上的"雁点"坐标；

（2）若抛物线 $y=a{x}^2+5x+c$ 上有且只有一个"雁点" $E$ ，该抛物线与 $x$ 轴交于 $M$ 、 $N$ 两点（点 $M$ 在点 $N$ 的左侧）．当 $a>1$ 时．

①求 $c$ 的取值范围；

②求 $\angle \mathit{EMN}$ 的度数；

（3）如图，抛物线 $y=-x^2+2x+3$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧）， $P$ 是抛物线 $y=-x^2+2x+3$ 上一点，连接 $\mathit{BP}$ ，以点 $P$ 为直角顶点，构造等腰 $\text{Rt}\Delta \text{BPC}$ ，是否存在点 $P$ ，使点 $C$ 恰好为"雁点"？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．