初中数学待定系数法求二次函数解析式解答题

已知函数 $y=m{x}^2-(2m-5)x+m-2$的图象与 $x$轴有两个公共点．

（1）求 $m$的取值范围，并写出当 $m$取值范围内取最大整数时函数的解析式；

（2）题（1）中求得的函数记为 $C_1$．

①当 $n⩽x⩽-1$时， $y$的取值范围是 $1⩽y⩽-3n$，求 $n$的值；

②函数 $C_2:y=m{(x-h)}^2+k$的图象由函数 $C_1$的图象平移得到，其顶点 $P$落在以原点为圆心，半径为 $\sqrt{5}$的圆内或圆上．设函数 $C_1$的图象顶点为 $M$，求点 $P$与点 $M$距离最大时函数 $C_2$的解析式．

如图1，矩形 $\mathit{OABC}$的顶点 $A$， $C$的坐标分别为 $(4,0)$， $(0,6)$，直线 $\mathit{AD}$交 $\mathit{BC}$于点 $D$， $\tan \angle \mathit{OAD}=2$，抛物线 $M_1:y=a{x}^2+\mathit{bx}(a\ne 0)$过 $A$， $D$两点．

（1）求点 $D$的坐标和抛物线 $M_1$的表达式；

（2）点 $P$是抛物线 $M_1$对称轴上一动点，当 $\angle \mathit{CPA}=90°$时，求所有符合条件的点 $P$的坐标；

（3）如图2，点 $E(0,4)$，连接 $\mathit{AE}$，将抛物线 $M_1$的图象向下平移 $m(m>0)$个单位得到抛物线 $M_2$．

①设点 $D$平移后的对应点为点 $D\text{'}$，当点 $D\text{'}$恰好在直线 $\mathit{AE}$上时，求 $m$的值；

②当 $1⩽x⩽m(m>1)$时，若抛物线 $M_2$与直线 $\mathit{AE}$有两个交点，求 $m$的取值范围．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+1$交 $y$轴于点 $A$，交 $x$轴正半轴于点 $B(4,0)$，与过 $A$点的直线相交于另一点 $D(3,\frac{5}{2})$，过点 $D$作 $\mathit{DC}\perp x$轴，垂足为 $C$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点 $P$在线段 $\mathit{OC}$上（不与点 $O$、 $C$重合），过 $P$作 $\mathit{PN}\perp x$轴，交直线 $\mathit{AD}$于 $M$，交抛物线于点 $N$，连接 $\mathit{CM}$，求 $\mathit{\Delta PCM}$面积的最大值；

（3）若 $P$是 $x$轴正半轴上的一动点，设 $\mathit{OP}$的长为 $t$，是否存在 $t$，使以点 $M$、 $C$、 $D$、 $N$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出 $t$的值；若不存在，请说明理由．

如图，直线 $y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3}$分别与 $x$轴、 $y$轴交于 $B$、 $C$两点，点 $A$在 $x$轴上， $\angle \mathit{ACB}=90°$，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+\sqrt{3}$经过 $A$， $B$两点．

（1）求 $A$、 $B$两点的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）点 $M$是直线 $\mathit{BC}$上方抛物线上的一点，过点 $M$作 $\mathit{MH}\perp \mathit{BC}$于点 $H$，作 $\mathit{MD}//y$轴交 $\mathit{BC}$于点 $D$，求 $\mathit{\Delta DMH}$周长的最大值．

如图，直线 $y=\mathit{kx}+b(k$、 $b$为常数）分别与 $x$轴、 $y$轴交于点 $A(-4,0)$、 $B(0,3)$，抛物线 $y=-x^2+2x+1$与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求直线 $y=\mathit{kx}+b$的函数解析式；

（2）若点 $P(x,y)$是抛物线 $y=-x^2+2x+1$上的任意一点，设点 $P$到直线 $\mathit{AB}$的距离为 $d$，求 $d$关于 $x$的函数解析式，并求 $d$取最小值时点 $P$的坐标；

（3）若点 $E$在抛物线 $y=-x^2+2x+1$的对称轴上移动，点 $F$在直线 $\mathit{AB}$上移动，求 $\mathit{CE}+\mathit{EF}$的最小值．

如图①，已知 $\mathit{\Delta ABC}$的三个顶点坐标分别为 $A(-1,0)$、 $B(3,0)$、 $C(0,3)$，直线 $\mathit{BE}$交 $y$轴正半轴于点 $E$．

（1）求经过 $A$、 $B$、 $C$三点的抛物线解析式及顶点 $D$的坐标；

（2）连接 $\mathit{BD}$、 $\mathit{CD}$，设 $\angle \mathit{DBO}=\alpha$， $\angle \mathit{EBO}=\beta$，若 $\tan (\alpha -\beta )=1$，求点 $E$的坐标；

（3）如图②，在（2）的条件下，动点 $M$从点 $C$出发以每秒 $\sqrt{2}$个单位的速度在直线 $\mathit{BC}$上移动（不考虑点 $M$与点 $C$、 $B$重合的情况），点 $N$为抛物线上一点，设点 $M$移动的时间为 $t$秒，在点 $M$移动的过程中，以 $E$、 $C$、 $M$、 $N$四个点为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，直接写出所有满足条件的 $t$值及点 $M$的个数；若不能，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3$经过点 $A(-1,0)$和点 $B(4,0)$，且与 $y$轴相交于点 $C$．点 $D$是线段 $\mathit{BC}$上的一个动点（不与点 $B$， $C$重合），设点 $D$的横坐标为 $t$，过点 $D$作 $\mathit{DE}//y$轴交抛物线于点 $E$，点 $F$在 $\mathit{DE}$的延长线上，且 $\mathit{EF}=\mathit{DE}$，过点 $F$作 $\mathit{FG}\perp$直线 $\mathit{BC}$，垂足为点 $G$．

（1）求此抛物线的解析式和点 $C$的坐标；

（2）设 $\mathit{\Delta DFG}$的周长为 $L$，求 $L$关于 $t$的函数关系式；

（3）直线 $m$经过点 $C$，且直线 $m//x$轴，点 $P$是直线 $m$上任意一点，过点 $P$分别作 $\mathit{PQ}\perp$直线 $\mathit{BC}$， $\mathit{PR}\perp x$轴，垂足分别为点 $Q$， $R$，若以三点 $P$， $Q$， $R$为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点 $P$的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，矩形 $\mathit{OCDE}$的顶点 $C$和 $E$分别在 $y$轴的正半轴和 $x$轴的正半轴上， $\mathit{OC}=8$， $\mathit{OE}=17$，抛物线 $y=\frac{3}{20}{x}^2-3x+m$与 $y$轴相交于点 $A$，抛物线的对称轴与 $x$轴相交于点 $B$，与 $\mathit{CD}$交于点 $K$．

（1）将矩形 $\mathit{OCDE}$沿 $\mathit{AB}$折叠，点 $O$恰好落在边 $\mathit{CD}$上的点 $F$处．

①点 $B$的坐标为 $($　　、　　 $)$， $\mathit{BK}$的长是　　， $\mathit{CK}$的长是　　；

②求点 $F$的坐标；

③请直接写出抛物线的函数表达式；

（2）将矩形 $\mathit{OCDE}$沿着经过点 $E$的直线折叠，点 $O$恰好落在边 $\mathit{CD}$上的点 $G$处，连接 $\mathit{OG}$，折痕与 $\mathit{OG}$相交于点 $H$，点 $M$是线段 $\mathit{EH}$上的一个动点（不与点 $H$重合），连接 $\mathit{MG}$， $\mathit{MO}$，过点 $G$作 $\mathit{GP}\perp \mathit{OM}$于点 $P$，交 $\mathit{EH}$于点 $N$，连接 $\mathit{ON}$，点 $M$从点 $E$开始沿线段 $\mathit{EH}$向点 $H$运动，至与点 $N$重合时停止， $\mathit{\Delta MOG}$和 $\mathit{\Delta NOG}$的面积分别表示为 $S_1$和 $S_2$，在点 $M$的运动过程中， $S_1·S_2$（即 $S_1$与 $S_2$的积）的值是否发生变化？若变化，请直接写出变化范围；若不变，请直接写出这个值．

温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+4$交 $y$轴于点 $C$，交 $x$轴于 $A$、 $B$两点， $A(-2,0)$， $a+b=\frac{1}{2}$，点 $M$是抛物线上的动点，点 $M$在顶点和 $B$点之间运动（不包括顶点和 $B$点）， $\mathit{ME}//y$轴，交直线 $\mathit{BC}$于点 $E$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求线段 $\mathit{ME}$的最大值；

（3）若点 $F$在直线 $\mathit{BC}$上， $\mathit{EF}=\frac{9\sqrt{2}}{4}$， $\angle \mathit{EFM}=\angle \mathit{ACO}$，求点 $F$的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+4$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，且 $\mathit{OB}=\mathit{OC}$，过点 $C$作 $\mathit{CD}\perp y$轴交抛物线于点 $D$，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp x$轴，垂足点为 $E$， $\tan \angle \mathit{ACO}=\frac{1}{2}$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）直线 $l$经过 $A$， $C$两点，将直线 $l$向右平移，平移过程中，直线 $l$与 $y$轴，直线 $\mathit{CD}$分别交于点 $M$， $N$，将 $\mathit{\Delta CMN}$沿直线 $\mathit{MN}$折叠，点 $C$的对应点 $F$落在线段 $\mathit{DE}$上．

①请求出 $\mathit{\Delta FMN}$的面积；

②点 $P$为抛物线上的点，若 $S_{\mathit{\Delta PMN}}=S_{\mathit{\Delta FMN}}$，请直接写出满足条件的点 $P$的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+\sqrt{3}$（其中 $a$、 $b$为常数， $a\ne 0)$经过点 $A(-1,0)$和点 $B(3,0)$，且与 $y$轴交于点 $C$，点 $D$为对称轴与直线 $\mathit{BC}$的交点．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）抛物线上存在点 $P$，使得 $\mathit{\Delta DPB}\backsim \mathit{\Delta ACB}$，求点 $P$的坐标；

（3）若点 $Q$为点 $O$关于直线 $\mathit{BC}$的对称点，点 $M$为直线 $\mathit{BC}$上一点，点 $N$为坐标平面内一点，是否存在这样的点 $M$和点 $N$，使得以 $Q$、 $B$、 $M$、 $N$为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点 $N$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于点 $A$和点 $B$，与 $y$轴交于点 $C$，点 $B$坐标为 $(6,0)$，点 $C$坐标为 $(0,6)$，点 $D$是抛物线的顶点，过点 $D$作 $x$轴的垂线，垂足为 $E$，连接 $\mathit{BD}$．

（1）求抛物线的解析式及点 $D$的坐标；

（2）点 $F$是抛物线上的动点，当 $\angle \mathit{FBA}=\angle \mathit{BDE}$时，求点 $F$的坐标；

（3）若点 $M$是抛物线上的动点，过点 $M$作 $\mathit{MN}//x$轴与抛物线交于点 $N$，点 $P$在 $x$轴上，点 $Q$在坐标平面内，以线段 $\mathit{MN}$为对角线作正方形 $\mathit{MPNQ}$，请写出点 $Q$的坐标．

如图，已知二次函数 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$的图象交 $x$轴于点 $A(-4,0)$和点 $B$，交 $y$轴于点 $C(0,4)$．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）若点 $P$在第二象限内的抛物线上，求四边形 $\mathit{AOCP}$面积的最大值和此时点 $P$的坐标；

（3）在平面直角坐标系内，是否存在点 $Q$，使 $A$， $B$， $C$， $Q$四点构成平行四边形？若存在，直接写出点 $Q$的坐标；若不存在，说明理由．

如图，抛物线 $y=-\frac{2}{9}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过点 $A(-3,0)$，点 $C(0,4)$，作 $\mathit{CD}//x$轴交抛物线于点 $D$，作 $\mathit{DE}\perp x$轴，垂足为 $E$，动点 $M$从点 $E$出发在线段 $\mathit{EA}$上以每秒2个单位长度的速度向点 $A$运动，同时动点 $N$从点 $A$出发在线段 $\mathit{AC}$上以每秒1个单位长度的速度向点 $C$运动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为 $t$秒．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设 $\mathit{\Delta DMN}$的面积为 $S$，求 $S$与 $t$的函数关系式；

（3）①当 $\mathit{MN}//\mathit{DE}$时，直接写出 $t$的值；

②在点 $M$和点 $N$运动过程中，是否存在某一时刻，使 $\mathit{MN}\perp \mathit{AD}$？若存在，直接写出此时 $t$的值；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}$过 $A(4,0)$， $B(1,3)$两点，点 $C$、 $B$关于抛物线的对称轴对称，过点 $B$作直线 $\mathit{BH}\perp x$轴，交 $x$轴于点 $H$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）直接写出点 $C$的坐标，并求出 $\mathit{\Delta ABC}$的面积；

（3）点 $P$是抛物线上一动点，且位于第四象限，当 $\mathit{\Delta ABP}$的面积为6时，求出点 $P$的坐标；

（4）若点 $M$在直线 $\mathit{BH}$上运动，点 $N$在 $x$轴上运动，当以点 $C$、 $M$、 $N$为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时 $\mathit{\Delta CMN}$的面积．