如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx4与x轴交于A，

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更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度较难
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如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + bx + 4$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，且 $OB = OC$ ，过点 $C$ 作 $CD ⊥ y$ 轴交抛物线于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $DE ⊥ x$ 轴，垂足点为 $E$ ， $\tan ∠ ACO = \frac{1}{2}$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）直线 $l$ 经过 $A$ ， $C$ 两点，将直线 $l$ 向右平移，平移过程中，直线 $l$ 与 $y$ 轴，直线 $CD$ 分别交于点 $M$ ， $N$ ，将 $ΔCMN$ 沿直线 $MN$ 折叠，点 $C$ 的对应点 $F$ 落在线段 $DE$ 上．

①请求出 $ΔFMN$ 的面积；

②点 $P$ 为抛物线上的点，若 $S_{ΔPMN} = S_{ΔFMN}$ ，请直接写出满足条件的点 $P$ 的坐标．

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如图，已知抛物线的顶点坐标为M（1,4），且经过点N（2,3），与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C。

（1）点A、B、C的坐标分别为、、。
（2）若直线y=kx+t经过C、M两点，且与x轴交于点D，试证明四边形CDAN是平行四边形；
（3）点P在抛物线的对称轴x=1上运动，请探索：在x轴上方是否存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。