初中数学二次函数的性质解答题

如图所示，已知抛物线y＝ax²+bx﹣3经过A（﹣1，0），B（4，5）两点，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求tan∠ABO的值；

（3）点M是抛物线上的一个点，直线MN平行于y轴交直线AB于N，如果以M，N，B，C为顶点的四边形是平行四边形，求出点M的横坐标．

抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，点 $A$的坐标为 $(-1,0)$，点 $C$的坐标为 $(0,-3)$．点 $P$为抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$上的一个动点．过点 $P$作 $\mathit{PD}\perp x$轴于点 $D$，交直线 $\mathit{BC}$于点 $E$．

（1）求 $b$、 $c$的值；

（2）设点 $F$在抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$的对称轴上，当 $\mathit{\Delta ACF}$的周长最小时，直接写出点 $F$的坐标；

（3）在第一象限，是否存在点 $P$，使点 $P$到直线 $\mathit{BC}$的距离是点 $D$到直线 $\mathit{BC}$的距离的5倍？若存在，求出点 $P$所有的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 y＝﹣ x ²+2 x+3与 x轴相交的于 A， B两点（点 A在点 B的左侧），与 y轴相交于点 C，顶点为 D．

（1）直接写出 A， B， C三点的坐标和抛物线的对称轴；

（2）连接 BC，与抛物线的对称轴交于点 E，点 P为线段 BC上的一个动点（ P不与 C， B两点重合），过点 P作 PF∥ DE交抛物线于点 F，设点 P的横坐标为 m．

①用含 m的代数式表示线段 PF的长，并求出当 m为何值时，四边形 PEDF为平行四边形．

②设△ BCF的面积为 S，求 S与 m的函数关系式；当 m为何值时， S有最大值．

已知抛物线 y＝ ax ²+ bx+ c经过 A（﹣1，0）， B（4，0）， C（0，﹣2）三点．

（1）请直接写出抛物线的解析式．

（2）连接 BC，将直线 BC平移，使其经过点 A，且与抛物线交于点 D，求点 D的坐标．

（3）在（2）中的线段 AD上有一动点 E（不与点 A、点 D重合），过点 E作 x轴的垂线与抛物线相交于点 F，当点 E运动到什么位置时，△ AFD的面积最大？求出此时点 E的坐标和△ AFD的最大面积．

如图，在平面直角坐标系内，抛物线 y＝﹣ x ²+ bx+ c与 x轴交于 A， B两点（ A在 B的左侧），与 y轴交于点 C，且 A， B两点的横坐标分别是方程 x ²﹣2 x﹣3＝0的两个实数根．

（1）求抛物线的解析式．

（2）若抛物线的顶点为 M，作点 M关于 x轴的对称点 N，顺次连接 A， M， B， N，在抛物线上存在点 D，使直线 CD将四边形 AMBN分成面积相等的两个四边形，求点 D的坐标．

（3）在抛物线上是否存在点 P，使△ PBC中 BC边上的高为 $\sqrt{2}$ ？若存在，请直接写出满足条件的所有 P点的坐标；若不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系中，已知点 A（﹣2，0）， B（2，0）， C（3，5）．

（1）求过点 A， C的直线解析式和过点 A， B， C的抛物线的解析式；

（2）求过点 A， B及抛物线的顶点 D的⊙ P的圆心 P的坐标；

（3）在抛物线上是否存在点 Q，使 AQ与⊙ P相切，若存在请求出 Q点坐标．

如图，抛物线 $C_1:y=-\sqrt{3}{x}^2+2\sqrt{3}x$的顶点为，与轴的正半轴交于点．

（1）将抛物线上的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，求变换后得到的抛物线的解析式；

（2）将抛物线上的点变为，，变换后得到的抛物线记作，抛物线的顶点为，点在抛物线上，满足，且．

①当时，求的值；

②当时，请直接写出的值，不必说明理由．

在平面直角坐标系中，抛物线 $y=x^2+2\mathit{mx}+2m^2-m$的顶点为 $A$．

（1）求顶点 $A$的坐标（用含有字母 $m$的代数式表示）；

（2）若点 $B(2,y_B)$， $C(5,y_C)$在抛物线上，且 $y_B>y_C$，则 $m$的取值范围是 　 $m<-3.5$　；（直接写出结果即可）

（3）当 $1⩽x⩽3$时，函数 $y$的最小值等于6，求 $m$的值．

如图所示，抛物线 y＝ ax ²﹣ x+ c经过原点 O与点 A（6，0）两点，过点 A作 AC⊥ x轴，交直线 y＝2 x﹣2于点 C，且直线 y＝2 x﹣2与 x轴交于点 D．

（1）求抛物线的解析式，并求出点 C和点 D的坐标；

（2）求点 A关于直线 y＝2 x﹣2的对称点 A′的坐标，并判断点 A′是否在抛物线上，并说明理由；

（3）点 P（ x， y）是抛物线上一动点，过点 P作 y轴的平行线，交线段 CA′于点 Q，设线段 PQ的长为 l，求 l与 x的函数关系式及 l的最大值．

如图，在平面直角坐标系中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{OC}=2\mathit{OB}$， $\tan \angle \mathit{ABC}=2$，点 $B$的坐标为 $(1,0)$．抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$经过 $A$、 $B$两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$是直线 $\mathit{AB}$上方抛物线上的一点，过点 $P$作 $\mathit{PD}$垂直 $x$轴于点 $D$，交线段 $\mathit{AB}$于点 $E$，使 $\mathit{PE}=\frac{1}{2}\mathit{DE}$．

①求点 $P$的坐标；

②在直线 $\mathit{PD}$上是否存在点 $M$，使 $\mathit{\Delta ABM}$为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点 $M$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，二次函数y＝ax²+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且B（1，0），C（0，3），将△BOC绕点O按逆时针方向旋转90°，C点恰好与A重合．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）若点P为线段AB上的任一动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连结CP，求△PCE面积S的最大值；

（3）设抛物线的顶点为M，Q为它的图象上的任一动点，若△OMQ为以OM为底的等腰三角形，求Q点的坐标．

如图1，二次函数y＝﹣x²+bx+c的图象过点A（3，0），B（0，4）两点，动点P从A出发，在线段AB上沿A→B的方向以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD⊥y于点D，交抛物线于点C．设运动时间为t（秒）．

（1）求二次函数y＝﹣x²+bx+c的表达式；

（2）连接BC，当 $t=\frac{5}{6}$时，求△BCP的面积；

（3）如图2，动点P从A出发时，动点Q同时从O出发，在线段OA上沿O→A的方向以1个单位长度的速度运动．当点P与B重合时，P、Q两点同时停止运动，连接DQ，PQ，将△DPQ沿直线PC折叠得到△DPE．在运动过程中，设△DPE和△OAB重合部分的面积为S，直接写出S与t的函数关系及t的取值范围．

已知直线y=2x+m与抛物线y=ax²+ax+b有一个公共点M（1，0），且a＜b．

（Ⅰ）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）；

（Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点；

（Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为N．

（ⅰ）若 $-1⩽a⩽-\frac{1}{2}$，求线段MN长度的取值范围；

（ⅱ）求△QMN面积的最小值．

在平面直角坐标系中，二次函数 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象与 $x$轴交于 $A(-2,0)$， $B(4,0)$两点，交 $y$轴于点 $C$，点 $P$是第四象限内抛物线上的一个动点．

（1）求二次函数的解析式；

（2）如图甲，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{PA}$， $\mathit{PC}$，若 $S_{\mathit{\Delta PAC}}=\frac{15}{2}$，求点 $P$的坐标；

（3）如图乙，过 $A$， $B$， $P$三点作 $\odot M$，过点 $P$作 $\mathit{PE}\perp x$轴，垂足为 $D$，交 $\odot M$于点 $E$．点 $P$在运动过程中线段 $\mathit{DE}$的长是否变化，若有变化，求出 $\mathit{DE}$的取值范围；若不变，求 $\mathit{DE}$的长．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$经过 $A(-1,0)$， $B(4,0)$， $C(0,3)$三点， $D$为直线 $\mathit{BC}$上方抛物线上一动点， $\mathit{DE}\perp \mathit{BC}$于 $E$．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图1，求线段 $\mathit{DE}$长度的最大值；

（3）如图2，设 $\mathit{AB}$的中点为 $F$，连接 $\mathit{CD}$， $\mathit{CF}$，是否存在点 $D$，使得 $\mathit{\Delta CDE}$中有一个角与 $\angle \mathit{CFO}$相等？若存在，求点 $D$的横坐标；若不存在，请说明理由．