初中数学二次函数的性质解答题

如图，已知二次函数 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$的图象交 $x$轴于点 $A(-4,0)$和点 $B$，交 $y$轴于点 $C(0,4)$．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）若点 $P$在第二象限内的抛物线上，求四边形 $\mathit{AOCP}$面积的最大值和此时点 $P$的坐标；

（3）在平面直角坐标系内，是否存在点 $Q$，使 $A$， $B$， $C$， $Q$四点构成平行四边形？若存在，直接写出点 $Q$的坐标；若不存在，说明理由．

如图，抛物线 $y=-\frac{2}{9}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过点 $A(-3,0)$，点 $C(0,4)$，作 $\mathit{CD}//x$轴交抛物线于点 $D$，作 $\mathit{DE}\perp x$轴，垂足为 $E$，动点 $M$从点 $E$出发在线段 $\mathit{EA}$上以每秒2个单位长度的速度向点 $A$运动，同时动点 $N$从点 $A$出发在线段 $\mathit{AC}$上以每秒1个单位长度的速度向点 $C$运动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为 $t$秒．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设 $\mathit{\Delta DMN}$的面积为 $S$，求 $S$与 $t$的函数关系式；

（3）①当 $\mathit{MN}//\mathit{DE}$时，直接写出 $t$的值；

②在点 $M$和点 $N$运动过程中，是否存在某一时刻，使 $\mathit{MN}\perp \mathit{AD}$？若存在，直接写出此时 $t$的值；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}$过 $A(4,0)$， $B(1,3)$两点，点 $C$、 $B$关于抛物线的对称轴对称，过点 $B$作直线 $\mathit{BH}\perp x$轴，交 $x$轴于点 $H$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）直接写出点 $C$的坐标，并求出 $\mathit{\Delta ABC}$的面积；

（3）点 $P$是抛物线上一动点，且位于第四象限，当 $\mathit{\Delta ABP}$的面积为6时，求出点 $P$的坐标；

（4）若点 $M$在直线 $\mathit{BH}$上运动，点 $N$在 $x$轴上运动，当以点 $C$、 $M$、 $N$为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时 $\mathit{\Delta CMN}$的面积．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，抛物线 $y=x^2+\frac{1}{4}$与 $y$轴相交于点 $A$，点 $B$与点 $O$关于点 $A$对称

（1）填空：点 $B$的坐标是　　；

（2）过点 $B$的直线 $y=\mathit{kx}+b$（其中 $k<0)$与 $x$轴相交于点 $C$，过点 $C$作直线 $l$平行于 $y$轴， $P$是直线 $l$上一点，且 $\mathit{PB}=\mathit{PC}$，求线段 $\mathit{PB}$的长（用含 $k$的式子表示），并判断点 $P$是否在抛物线上，说明理由；

（3）在（2）的条件下，若点 $C$关于直线 $\mathit{BP}$的对称点 $C\text{'}$恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点 $P$的坐标．

如图1，已知抛物线 $y=\frac{1}{a}(x-2)(x+a)(a>0)$与 $x$轴从左至右交于 $A$， $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$．

（1）若抛物线过点 $T(1,-\frac{5}{4})$，求抛物线的解析式；

（2）在第二象限内的抛物线上是否存在点 $D$，使得以 $A$、 $B$、 $D$三点为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ABC}$相似？若存在，求 $a$的值；若不存在，请说明理由．

（3）如图2，在（1）的条件下，点 $P$的坐标为 $(-1,1)$，点 $Q(6,t)$是抛物线上的点，在 $x$轴上，从左至右有 $M$、 $N$两点，且 $\mathit{MN}=2$，问 $\mathit{MN}$在 $x$轴上移动到何处时，四边形 $\mathit{PQNM}$的周长最小？请直接写出符合条件的点 $M$的坐标．

如图，直线 $y=-\frac{1}{2}x+1$与 $x$轴交于点 $A$，与 $y$轴交于点 $B$，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$经过 $A$、 $B$两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$是第一象限抛物线上的一点，连接 $\mathit{PA}$、 $\mathit{PB}$、 $\mathit{PO}$，若 $\mathit{\Delta POA}$的面积是 $\mathit{\Delta POB}$面积的 $\frac{4}{3}$倍．

①求点 $P$的坐标；

②点 $Q$为抛物线对称轴上一点，请直接写出 $\mathit{QP}+\mathit{QA}$的最小值；

（3）点 $M$为直线 $\mathit{AB}$上的动点，点 $N$为抛物线上的动点，当以点 $O$、 $B$、 $M$、 $N$为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点 $M$的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y=\frac{1}{3}{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象经过平行四边形 $\mathit{ABCD}$的顶点 $B$， $D(5,2)\mathit{DE}\perp x$轴，垂足为点 $E$．点 $A$在 $y$轴正半轴上，点 $B$在 $x$轴负半轴上，点 $C$在 $x$轴正半轴上，且 $\tan \angle \mathit{BAO}=\frac{1}{2}$．

（1）求二次函数的表达式，并判断点 $C$是否在该函数图象上；

（2）点 $F$是线段 $\mathit{AD}$上一点，在线段 $\mathit{AD}$下方作 $\angle \mathit{HFK}=90°$．

①当点 $F$运动时，使 $\angle \mathit{HFK}$的一边 $\mathit{FH}$始终过点 $O$，另一边 $\mathit{FK}$交射线 $\mathit{DE}$于点 $N$，（不含点 $D$与 $N$重合的情形）设 $\mathit{AF}=n$， $\mathit{DN}=m$，求 $m$关于 $n$的函数关系式，并求出 $m$的取值范围．

②当 $\mathit{AF}=1$时，将 $\angle \mathit{HFK}$绕点 $F$旋转，一条边 $\mathit{FH}$交线段 $\mathit{OA}$于点 $P$，另一条边 $\mathit{FK}$交线段 $\mathit{OE}$于点 $Q$，连接 $\mathit{PQ}$，以 $\mathit{PQ}$为直径作 $\odot M$，设圆心 $M$的坐标为 $(x,y)$，求 $y$与 $x$之间的函数关系式，并直接写出点 $P$从点 $O$运动到点 $A$时圆心 $M$运动的路径长．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-2$的对称轴是直线 $x=1$，与 $x$轴交于 $A$， $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，点 $A$的坐标为 $(-2,0)$，点 $P$为抛物线上的一个动点，过点 $P$作 $\mathit{PD}\perp x$轴于点 $D$，交直线 $\mathit{BC}$于点 $E$．

（1）求抛物线解析式；

（2）若点 $P$在第一象限内，当 $\mathit{OD}=4\mathit{PE}$时，求四边形 $\mathit{POBE}$的面积；

（3）在（2）的条件下，若点 $M$为直线 $\mathit{BC}$上一点，点 $N$为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点 $M$和点 $N$，使得以点 $B$， $D$， $M$， $N$为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点 $N$的坐标；若不存在，请说明理由．

【温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】

如图，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴的两个交点分别为 $A(3,0)$， $D(-1,0)$，与 $y$轴交于点 $C$，点 $B$在 $y$轴正半轴上，且 $\mathit{OB}=\mathit{OD}$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，抛物线的顶点为点 $E$，对称轴交 $x$轴于点 $M$，连接 $\mathit{BE}$， $\mathit{AB}$，请在抛物线的对称轴上找一点 $Q$，使 $\angle \mathit{QBA}=\angle \mathit{BEM}$，求出点 $Q$的坐标；

（3）如图2，过点 $C$作 $\mathit{CF}//x$轴，交抛物线于点 $F$，连接 $\mathit{BF}$，点 $G$是 $x$轴上一点，在抛物线上是否存在点 $N$，使以点 $B$， $F$， $G$， $N$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 $N$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，在平面直角坐标系中， $O$是坐标原点，抛物线 $y=-\frac{\sqrt{3}}{12}{x}^2-\frac{\sqrt{3}}{3}x+8\sqrt{3}$与 $x$轴正半轴交于点 $A$，与 $y$轴交于点 $B$，连接 $\mathit{AB}$，点 $M$， $N$分别是 $\mathit{OA}$， $\mathit{AB}$的中点， $\text{Rt}\Delta \text{CDE}\cong \text{Rt}\Delta \text{ABO}$，且 $\mathit{\Delta CDE}$始终保持边 $\mathit{ED}$经过点 $M$，边 $\mathit{CD}$经过点 $N$，边 $\mathit{DE}$与 $y$轴交于点 $H$，边 $\mathit{CD}$与 $y$轴交于点 $G$．

（1）填空： $\mathit{OA}$的长是　， $\angle \mathit{ABO}$的度数是　　度；

（2）如图2，当 $\mathit{DE}//\mathit{AB}$，连接 $\mathit{HN}$．

①求证：四边形 $\mathit{AMHN}$是平行四边形；

②判断点 $D$是否在该抛物线的对称轴上，并说明理由；

（3）如图3，当边 $\mathit{CD}$经过点 $O$时，（此时点 $O$与点 $G$重合），过点 $D$作 $\mathit{DQ}//\mathit{OB}$，交 $\mathit{AB}$延长线上于点 $Q$，延长 $\mathit{ED}$到点 $K$，使 $\mathit{DK}=\mathit{DN}$，过点 $K$作 $\mathit{KI}//\mathit{OB}$，在 $\mathit{KI}$上取一点 $P$，使得 $\angle \mathit{PDK}=45°$（点 $P$， $Q$在直线 $\mathit{ED}$的同侧），连接 $\mathit{PQ}$，请直接写出 $\mathit{PQ}$的长．

如图，直线 $y=-2x+4$交 $y$轴于点 $A$，交抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$于点 $B(3,-2)$，抛物线经过点 $C(-1,0)$，交 $y$轴于点 $D$，点 $P$是抛物线上的动点，作 $\mathit{PE}\perp \mathit{DB}$交 $\mathit{DB}$所在直线于点 $E$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当 $\mathit{\Delta PDE}$为等腰直角三角形时，求出 $\mathit{PE}$的长及 $P$点坐标；

（3）在（2）的条件下，连接 $\mathit{PB}$，将 $\mathit{\Delta PBE}$沿直线 $\mathit{AB}$翻折，直接写出翻折点后 $E$的对称点坐标．

如图1，抛物线 $y=\frac{1}{3}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过 $A(-2\sqrt{3}$， $0)$、 $B(0,-2)$两点，点 $C$在 $y$轴上， $\mathit{\Delta ABC}$为等边三角形，点 $D$从点 $A$出发，沿 $\mathit{AB}$方向以每秒2个单位长度的速度向终点 $B$运动，设运动时间为 $t$秒 $(t>0)$，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$于点 $E$，以 $\mathit{DE}$为边作矩形 $\mathit{DEGF}$，使点 $F$在 $x$轴上，点 $G$在 $\mathit{AC}$或 $\mathit{AC}$的延长线上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）将矩形 $\mathit{DEGF}$沿 $\mathit{GF}$所在直线翻折，得矩形 $D^{\text{'}}{E}^{\text{'}}\mathit{GF}$，当点 $D$的对称点 $D^{\text{'}}$落在抛物线上时，求此时点 $D^{\text{'}}$的坐标；

（3）如图2，在 $x$轴上有一点 $M(2\sqrt{3}$， $0)$，连接 $\mathit{BM}$、 $\mathit{CM}$，在点 $D$的运动过程中，设矩形 $\mathit{DEGF}$与四边形 $\mathit{ABMC}$重叠部分的面积为 $S$，直接写出 $S$与 $t$之间的函数关系式，并写出自变量 $t$的取值范围．

如图，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$经过 $B(-1,0)$， $D(-2,5)$两点，与 $x$轴另一交点为 $A$，点 $H$是线段 $\mathit{AB}$上一动点，过点 $H$的直线 $\mathit{PQ}\perp x$轴，分别交直线 $\mathit{AD}$、抛物线于点 $Q$， $P$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在点 $P$，使 $\angle \mathit{APB}=90°$，若存在，求出点 $P$的横坐标，若不存在，说明理由；

（3）连接 $\mathit{BQ}$，一动点 $M$从点 $B$出发，沿线段 $\mathit{BQ}$以每秒1个单位的速度运动到 $Q$，再沿线段 $\mathit{QD}$以每秒 $\sqrt{2}$个单位的速度运动到 $D$后停止，当点 $Q$的坐标是多少时，点 $M$在整个运动过程中用时 $t$最少？

如图，抛物线 $y=a{x}^2-2x+c(a\ne 0)$与 $x$轴、 $y$轴分别交于点 $A$， $B$， $C$三点，已知点 $A(-2,0)$，点 $C(0,-8)$，点 $D$是抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式及顶点 $D$的坐标；

（2）如图1，抛物线的对称轴与 $x$轴交于点 $E$，第四象限的抛物线上有一点 $P$，将 $\mathit{\Delta EBP}$沿直线 $\mathit{EP}$折叠，使点 $B$的对应点 $B^{\text{'}}$落在抛物线的对称轴上，求点 $P$的坐标；

（3）如图2，设 $\mathit{BC}$交抛物线的对称轴于点 $F$，作直线 $\mathit{CD}$，点 $M$是直线 $\mathit{CD}$上的动点，点 $N$是平面内一点，当以点 $B$， $F$， $M$， $N$为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点 $M$的坐标．

如图，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$的图象与 $x$轴交于 $A(-5,0)$， $B(1,0)$两点，与 $y$轴交于点 $C$，抛物线的对称轴与 $x$轴交于点 $D$．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图1，点 $E(x,y)$为抛物线上一点，且 $-5<x<-2$，过点 $E$作 $\mathit{EF}//x$轴，交抛物线的对称轴于点 $F$，作 $\mathit{EH}\perp x$轴于点 $H$，得到矩形 $\mathit{EHDF}$，求矩形 $\mathit{EHDF}$周长的最大值；

（3）如图2，点 $P$为抛物线对称轴上一点，是否存在点 $P$，使以点 $P$， $A$， $C$为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．