初中数学二次函数的性质计算题

如图，在平面直角坐标系中，四边形 $\mathit{ABCD}$是以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot M$的内接四边形，点 $A$， $B$在 $x$轴上， $\mathit{\Delta MBC}$是边长为2的等边三角形，过点 $M$作直线 $l$与 $x$轴垂直，交 $\odot M$于点 $E$，垂足为点 $M$，且点 $D$平分 $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}$．

（1）求过 $A$， $B$， $E$三点的抛物线的解析式；

（2）求证：四边形 $\mathit{AMCD}$是菱形；

（3）请问在抛物线上是否存在一点 $P$，使得 $\mathit{\Delta ABP}$的面积等于定值5？若存在，请求出所有的点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

已知点 $A(-1,1)$、 $B(4,6)$在抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}$上，

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点 $F$的坐标为 $(0$， $m\left)\right(m>2)$，直线 $\mathit{AF}$交抛物线于另一点 $G$，过点 $G$作 $x$轴的垂线，垂足为 $H$．设抛物线与 $x$轴的正半轴交于点 $E$，连接 $\mathit{FH}$、 $\mathit{AE}$，求证： $\mathit{FH}//\mathit{AE}$；

（3）如图2，直线 $\mathit{AB}$分别交 $x$轴、 $y$轴于 $C$、 $D$两点．点 $P$从点 $C$出发，沿射线 $\mathit{CD}$方向匀速运动，速度为每秒 $\sqrt{2}$个单位长度；同时点 $Q$从原点 $O$出发，沿 $x$轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点 $M$是直线 $\mathit{PQ}$与抛物线的一个交点，当运动到 $t$秒时， $\mathit{QM}=2\mathit{PM}$，直接写出 $t$的值．

如图1，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3$ 交 $x$ 轴于点 $A(-1,0)$ 和点 $B(3,0)$ ．

（1）求该抛物线所对应的函数解析式；

（2）如图2，该抛物线与 $y$ 轴交于点 $C$ ，顶点为 $F$ ，点 $D(2,3)$ 在该抛物线上．

①求四边形 $\mathit{ACFD}$ 的面积；

②点 $P$ 是线段 $\mathit{AB}$ 上的动点（点 $P$ 不与点 $A$ 、 $B$ 重合），过点 $P$ 作 $\mathit{PQ}\perp x$ 轴交该抛物线于点 $Q$ ，连接 $\mathit{AQ}$ 、 $\mathit{DQ}$ ，当 $\mathit{\Delta AQD}$ 是直角三角形时，求出所有满足条件的点 $Q$ 的坐标．

直线 $y=-\frac{3}{2}x+3$交 $x$轴于点 $A$，交 $y$轴于点 $B$，顶点为 $D$的抛物线 $y=-\frac{3}{4}{x}^2+2\mathit{mx}-3m$经过点 $A$，交 $x$轴于另一点 $C$，连接 $\mathit{BD}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{CD}$，如图所示．

（1）直接写出抛物线的解析式和点 $A$， $C$， $D$的坐标；

（2）动点 $P$在 $\mathit{BD}$上以每秒2个单位长的速度由点 $B$向点 $D$运动，同时动点 $Q$在 $\mathit{CA}$上以每秒3个单位长的速度由点 $C$向点 $A$运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为 $t$秒． $\mathit{PQ}$交线段 $\mathit{AD}$于点 $E$．

①当 $\angle \mathit{DPE}=\angle \mathit{CAD}$时，求 $t$的值；

②过点 $E$作 $\mathit{EM}\perp \mathit{BD}$，垂足为点 $M$，过点 $P$作 $\mathit{PN}\perp \mathit{BD}$交线段 $\mathit{AB}$或 $\mathit{AD}$于点 $N$，当 $\mathit{PN}=\mathit{EM}$时，求 $t$的值．

如图1，抛物线 $y=a{x}^2-6x+c$与 $x$轴交于点 $A(-5,0)$、 $B(-1,0)$，与 $y$轴交于点 $C(0,-5)$，点 $P$是抛物线上的动点，连接 $\mathit{PA}$、 $\mathit{PC}$， $\mathit{PC}$与 $x$轴交于点 $D$．

（1）求该抛物线所对应的函数解析式；

（2）若点 $P$的坐标为 $(-2,3)$，请求出此时 $\mathit{\Delta APC}$的面积；

（3）过点 $P$作 $y$轴的平行线交 $x$轴于点 $H$，交直线 $\mathit{AC}$于点 $E$，如图2．

①若 $\angle \mathit{APE}=\angle \mathit{CPE}$，求证： $\frac{\mathit{AE}}{\mathit{EC}}=\frac{3}{7}$；

② $\mathit{\Delta APE}$能否为等腰三角形？若能，请求出此时点 $P$的坐标；若不能，请说明理由．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+c$过点 $(-2,2)$， $(4,5)$，过定点 $F(0,2)$的直线 $l:y=\mathit{kx}+2$与抛物线交于 $A$、 $B$两点，点 $B$在点 $A$的右侧，过点 $B$作 $x$轴的垂线，垂足为 $C$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点 $B$在抛物线上运动时，判断线段 $\mathit{BF}$与 $\mathit{BC}$的数量关系 $(>$、 $<$、 $=)$，并证明你的判断；

（3） $P$为 $y$轴上一点，以 $B$、 $C$、 $F$、 $P$为顶点的四边形是菱形，设点 $P(0,m)$，求自然数 $m$的值；

（4）若 $k=1$，在直线 $l$下方的抛物线上是否存在点 $Q$，使得 $\mathit{\Delta QBF}$的面积最大？若存在，求出点 $Q$的坐标及 $\mathit{\Delta QBF}$的最大面积；若不存在，请说明理由．

如图1，对称轴为直线 $x=\frac{1}{2}$ 的抛物线经过 $B(2,0)$ 、 $C(0,4)$ 两点，抛物线与 $x$ 轴的另一交点为 $A$

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点 $P$ 为第一象限内抛物线上的一点，设四边形 $\mathit{COBP}$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 的最大值；

（3）如图2，若 $M$ 是线段 $\mathit{BC}$ 上一动点，在 $x$ 轴是否存在这样的点 $Q$ ，使 $\mathit{\Delta MQC}$ 为等腰三角形且 $\mathit{\Delta MQB}$ 为直角三角形？若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$与 $x$轴交于原点及点 $A$，且经过点 $B(4,8)$，对称轴为直线 $x=-2$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设直线 $y=\mathit{kx}+4$与抛物线两交点的横坐标分别为 $x_1$， $x_2(x_1<x_2)$，当 $\frac{1}{x_2}-\frac{1}{x_1}=\frac{1}{2}$时，求 $k$的值；

（3）连接 $\mathit{OB}$，点 $P$为 $x$轴下方抛物线上一动点，过点 $P$作 $\mathit{OB}$的平行线交直线 $\mathit{AB}$于点 $Q$，当 $S_{\mathit{\Delta POQ}}:S_{\mathit{\Delta BOQ}}=1:2$时，求出点 $P$的坐标．

（坐标平面内两点 $M(x_1$， $y_1)$， $N(x_2$， $y_2)$之间的距离 $\mathit{MN}=\sqrt{{(x_1-x_2)}^2+{(y_1-y_2)}^2})$

如图1，已知平行四边形 $\mathit{ABCD}$顶点 $A$的坐标为 $(2,6)$，点 $B$在 $y$轴上，且 $\mathit{AD}//\mathit{BC}//x$轴，过 $B$， $C$， $D$三点的抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的顶点坐标为 $(2,2)$，点 $F(m,6)$是线段 $\mathit{AD}$上一动点，直线 $\mathit{OF}$交 $\mathit{BC}$于点 $E$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）设四边形 $\mathit{ABEF}$的面积为 $S$，请求出 $S$与 $m$的函数关系式，并写出自变量 $m$的取值范围；

（3）如图2，过点 $F$作 $\mathit{FM}\perp x$轴，垂足为 $M$，交直线 $\mathit{AC}$于 $P$，过点 $P$作 $\mathit{PN}\perp y$轴，垂足为 $N$，连接 $\mathit{MN}$，直线 $\mathit{AC}$分别交 $x$轴， $y$轴于点 $H$， $G$，试求线段 $\mathit{MN}$的最小值，并直接写出此时 $m$的值．

如图，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$交 $x$轴于 $A$、 $B$两点，其中点 $A$坐标为 $(1,0)$，与 $y$轴交于点 $C(0,-3)$．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图①，连接 $\mathit{AC}$，点 $P$在抛物线上，且满足 $\angle \mathit{PAB}=2\angle \mathit{ACO}$．求点 $P$的坐标；

（3）如图②，点 $Q$为 $x$轴下方抛物线上任意一点，点 $D$是抛物线对称轴与 $x$轴的交点，直线 $\mathit{AQ}$、 $\mathit{BQ}$分别交抛物线的对称轴于点 $M$、 $N$．请问 $\mathit{DM}+\mathit{DN}$是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

若一次函数 $y=-3x-3$ 的图象与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于 $A$ ， $C$ 两点，点 $B$ 的坐标为 $(3,0)$ ，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 的图象过 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点，如图（1）．

（1）求二次函数的表达式；

（2）如图（1），过点 $C$ 作 $\mathit{CD}//x$ 轴交抛物线于点 $D$ ，点 $E$ 在抛物线上 $(y$ 轴左侧），若 $\mathit{BC}$ 恰好平分 $\angle \mathit{DBE}$ ．求直线 $\mathit{BE}$ 的表达式；

（3）如图（2），若点 $P$ 在抛物线上（点 $P$ 在 $y$ 轴右侧），连接 $\mathit{AP}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{BP}$ ， $S_{\mathit{\Delta BFP}}=m{S}_{\mathit{\Delta BAF}}$ ．

①当 $m=\frac{1}{2}$ 时，求点 $P$ 的坐标；

②求 $m$ 的最大值．

如图1，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，已知点 $A$和点 $B$的坐标分别为 $A(-2,0)$， $B(0,-6)$，将 $\text{Rt}\Delta \text{AOB}$绕点 $O$按顺时针方向分别旋转 $90°$， $180°$得到 $\mathit{Rt}$△ $A_1\mathit{OC}$， $\text{Rt}\Delta \text{EOF}$．抛物线 $C_1$经过点 $C$， $A$， $B$；抛物线 $C_2$经过点 $C$， $E$， $F$．

（1）点 $C$的坐标为　    　，点 $E$的坐标为　    　；抛物线 $C_1$的解析式为　    　．抛物线 $C_2$的解析式为　      　；

（2）如果点 $P(x,y)$是直线 $\mathit{BC}$上方抛物线 $C_1$上的一个动点．

①若 $\angle \mathit{PCA}=\angle \mathit{ABO}$时，求 $P$点的坐标；

②如图2，过点 $P$作 $x$轴的垂线交直线 $\mathit{BC}$于点 $M$，交抛物线 $C_2$于点 $N$，记 $h=\mathit{PM}+\mathit{NM}+\sqrt{2}\mathit{BM}$，求 $h$与 $x$的函数关系式，当 $-5⩽x⩽-2$时，求 $h$的取值范围．

抛物线 $L:y=-x^2+\mathit{bx}+c$经过点 $A(0,1)$，与它的对称轴直线 $x=1$交于点 $B$．

（1）直接写出抛物线 $L$的解析式；

（2）如图1，过定点的直线 $y=\mathit{kx}-k+4(k<0)$与抛物线 $L$交于点 $M$、 $N$．若 $\mathit{\Delta BMN}$的面积等于1，求 $k$的值；

（3）如图2，将抛物线 $L$向上平移 $m(m>0)$个单位长度得到抛物线 $L_1$，抛物线 $L_1$与 $y$轴交于点 $C$，过点 $C$作 $y$轴的垂线交抛物线 $L_1$于另一点 $D$． $F$为抛物线 $L_1$的对称轴与 $x$轴的交点， $P$为线段 $\mathit{OC}$上一点．若 $\mathit{\Delta PCD}$与 $\mathit{\Delta POF}$相似，并且符合条件的点 $P$恰有2个，求 $m$的值及相应点 $P$的坐标．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，规定：抛物线 $y=a{(x-h)}^2+k$的伴随直线为 $y=a(x-h)+k$．例如：抛物线 $y=2{(x+1)}^2-3$的伴随直线为 $y=2(x+1)-3$，即 $y=2x-1$．

（1）在上面规定下，抛物线 $y={(x+1)}^2-4$的顶点坐标为　            　，伴随直线为　　                ，抛物线 $y={(x+1)}^2-4$与其伴随直线的交点坐标为　         　和　         　；

（2）如图，顶点在第一象限的抛物线 $y=m{(x-1)}^2-4m$与其伴随直线相交于点 $A$， $B$（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $x$轴交于点 $C$， $D$．

①若 $\angle \mathit{CAB}=90°$，求 $m$的值；

②如果点 $P(x,y)$是直线 $\mathit{BC}$上方抛物线上的一个动点， $\mathit{\Delta PBC}$的面积记为 $S$，当 $S$取得最大值 $\frac{27}{4}$时，求 $m$的值．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-3(a\ne 0)$的顶点为 $E$，该抛物线与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，且 $\mathit{BO}=\mathit{OC}=3\mathit{AO}$，直线 $y=-\frac{1}{3}x+1$与 $y$轴交于点 $D$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）证明： $\mathit{\Delta DBO}\backsim \mathit{\Delta EBC}$；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点 $P$，使 $\mathit{\Delta PBC}$是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的 $P$点坐标，若不存在，请说明理由．