初中数学反比例函数与一次函数的交点问题解答题

如图，函数 $y=\left\{\begin{array}{c}2x,(0⩽x⩽3)\\ -x+9,(x>3)\end{array}\right.$的图象与双曲线 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0,x>0)$相交于点 $A(3,m)$和点 $B$．

（1）求双曲线的解析式及点 $B$的坐标；

（2）若点 $P$在 $y$轴上，连接 $\mathit{PA}$， $\mathit{PB}$，求当 $\mathit{PA}+\mathit{PB}$的值最小时点 $P$的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y=\frac{4}{3}x-2$ 的图象与 $y$ 轴相交于点 $A$ ，与反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 在第一象限内的图象相交于点 $B(m,2)$ ，过点 $B$ 作 $\mathit{BC}\perp y$ 轴于点 $C$ ．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求 $\mathit{\Delta ABC}$ 的面积．

如图，一次函数 $y=\mathit{kx}+b$与反比例函数 $y=\frac{4}{x}(x>0)$的图象交于 $A(m,4)$， $B(2,n)$两点，与坐标轴分别交于 $M$、 $N$两点．

（1）求一次函数的解析式；

（2）根据图象直接写出 $\mathit{kx}+b-\frac{4}{x}>0$中 $x$的取值范围；

（3）求 $\mathit{\Delta AOB}$的面积．

如图，一次函数 $y=k_{1}x+b(k_1\ne 0)$与反比例函数 $y=\frac{k_2}{x}(k_2\ne 0)$的图象交于点 $A(-1,2)$， $B(m,-1)$．

（1）求这两个函数的表达式；

（2）在 $x$轴上是否存在点 $P(n$， $0\left)\right(n>0)$，使 $\mathit{\Delta ABP}$为等腰三角形？若存在，求 $n$的值；若不存在，说明理由．

如图， $A(4,3)$是反比例函数 $y=\frac{k}{x}$在第一象限图象上一点，连接 $\mathit{OA}$，过 $A$作 $\mathit{AB}//x$轴，截取 $\mathit{AB}=\mathit{OA}(B$在 $A$右侧），连接 $\mathit{OB}$，交反比例函数 $y=\frac{k}{x}$的图象于点 $P$．

（1）求反比例函数 $y=\frac{k}{x}$的表达式；

（2）求点 $B$的坐标；

（3）求 $\mathit{\Delta OAP}$的面积．

如图，已知直线 $y=\mathit{kx}+b(k\ne 0)$与双曲线 $y=\frac{6}{x}$相交于 $A(m,3)$、 $B(3,n)$两点．

（1）求直线 $\mathit{AB}$的解析式；

（2）连结 $\mathit{AO}$并延长交双曲线于点 $C$，连结 $\mathit{BC}$交 $x$轴于点 $D$，连结 $\mathit{AD}$，求 $\mathit{\Delta ABD}$的面积．

如图，已知一次函数 $y=-2x+8$的图象与坐标轴交于 $A$， $B$两点，并与反比例函数 $y=\frac{8}{x}$的图象相切于点 $C$．

（1）切点 $C$的坐标是　　；

（2）若点 $M$为线段 $\mathit{BC}$的中点，将一次函数 $y=-2x+8$的图象向左平移 $m(m>0)$个单位后，点 $C$和点 $M$平移后的对应点同时落在另一个反比例函数 $y=\frac{k}{x}$的图象上时，求 $k$的值．

如图，已知一次函数 $y_1=\mathit{kx}+b$的图象与反比例函数 $y_2=\frac{4}{x}$的图象交于点 $A(-4,m)$，且与 $y$轴交于点 $B$，第一象限内点 $C$在反比例函数 $y_2=\frac{4}{x}$的图象上，且以点 $C$为圆心的圆与 $x$轴， $y$轴分别相切于点 $D$， $B$

（1）求 $m$的值；

（2）求一次函数的表达式；

（3）根据图象，当 $y_1<y_2<0$时，写出 $x$的取值范围．

如图，一次函数 $y=\mathit{kx}+b$与反比例函数 $y=\frac{a}{x}$的图象在第一象限交于 $A$、 $B$两点， $B$点的坐标为 $(3,2)$，连接 $\mathit{OA}$、 $\mathit{OB}$，过 $B$作 $\mathit{BD}\perp y$轴，垂足为 $D$，交 $\mathit{OA}$于 $C$，若 $\mathit{OC}=\mathit{CA}$．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）求 $\mathit{\Delta AOB}$的面积．

如图，在平面直角坐标系中，点 $O$为坐标原点，菱形 $\mathit{OABC}$的顶点 $A$在 $x$轴的正半轴上，顶点 $C$的坐标为 $(1,\sqrt{3})$．

（1）求图象过点 $B$的反比例函数的解析式；

（2）求图象过点 $A$， $B$的一次函数的解析式；

（3）在第一象限内，当以上所求一次函数的图象在所求反比例函数的图象下方时，请直接写出自变量 $x$的取值范围．

探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数 $y=x+|-2x+6|+m$ 性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．

$x$	$\dots$	$-2$	$-1$	0	1	2	3	4	5	$\dots$
$y$	$\dots$	6	5	4	$a$	2	1	$b$	7	$\dots$

（1）写出函数关系式中 $m$ 及表格中 $a$ ， $b$ 的值：

$m=$ 　　， $a=$ 　　， $b=$ 　　；

（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质： 　　；

（3）已知函数 $y=\frac{16}{x}$ 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式 $x+|-2x+6|+m>\frac{16}{x}$ 的解集．

如图，一次函数 $y_1=\mathit{kx}+b(k\ne 0)$与反比例函数 $y_2=\frac{m}{x}(m\ne 0)$的图象交于

点 $A(1,2)$和 $B(-2,a)$，与 $y$轴交于点 $M$．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）在 $y$轴上取一点 $N$，当 $\mathit{\Delta AMN}$的面积为3时，求点 $N$的坐标；

（3）将直线 $y_1$向下平移2个单位后得到直线 $y_3$，当函数值 $y_1>y_2>y_3$时，求 $x$的取值范围．

如图，正比例函数 $y=\frac{1}{2}x$ 与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$ 的图象交于点 $A$ ，过点 $A$ 作 $\mathit{AB}\perp y$ 轴于点 $B$ ， $\mathit{OB}=4$ ，点 $C$ 在线段 $\mathit{AB}$ 上，且 $\mathit{AC}=\mathit{OC}$ ．

（1）求 $k$ 的值及线段 $\mathit{BC}$ 的长；

（2）点 $P$ 为 $B$ 点上方 $y$ 轴上一点，当 $\mathit{\Delta POC}$ 与 $\mathit{\Delta PAC}$ 的面积相等时，请求出点 $P$ 的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y=\frac{1}{2}x+5$和 $y=-2x$的图象相交于点 $A$，反比例函数 $y=\frac{k}{x}$的图象经过点 $A$．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）设一次函数 $y=\frac{1}{2}x+5$的图象与反比例函数 $y=\frac{k}{x}$的图象的另一个交点为 $B$，连接 $\mathit{OB}$，求 $\mathit{\Delta ABO}$的面积．

已知、两点是一次函数和反比例函数图象的两个交点．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）求的面积；

（3）观察图象，直接写出不等式的解集．