初中数学反比例函数与一次函数的交点问题解答题

如图，在平面直角坐标系中，O为原点，一次函数与反比例函数的图象相交于A（2，1）B（－1，－2）两点，与轴相交于点C．

（1）分别求反比例函数和一次函数的解析式（关系式）；
（2）连接OA，求△AOC的面积．

如图，一次函数（为常数，且）的图像与反比例函数的图像交于，两点．

（1）求一次函数的表达式；
（2）若将直线向下平移个单位长度后与反比例函数的图像有且只有一个公共点，求的值．

（年青海省西宁市）如图，一次函数的图象与x轴交于点B，与反比例函数的图象的交点为A（﹣2，3）．

（1）求反比例函数的解析式；
（2）过点A作AC⊥x轴，垂足为C，若点P在反比例函数图象上，且△PBC的面积等于18，求P点的坐标．

（年贵州省贵阳市）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A（2，1），B两点．

（1）求出反比例函数与一次函数的表达式；
（2）请直接写出B点的坐标，并指出使反比例函数值大于一次函数值的x的取值范围．

（年江西省南昌市）如图，已知直线与双曲线交于A（），B（）两点两点（A与B不重合），直线AB与x轴交于P（，0），与y轴交于点C．

（1）若A，B两点坐标分别为（1，3），（3，y₂），求点P的坐标．
（2）若，点P的坐标为（6，0），且AB=BP，求A，B两点的坐标．
（3）结合（1），（2）中的结果，猜想并用等式表示之间的关系（不要求证明）．

（年贵州省黔东南州）如图，已知反比例函数与一次函数的图象在第一象限相交于点A（1，﹣k+4）．

（1）试确定这两个函数的表达式；
（2）求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标，并求△AOB的面积．

（年新疆、生产建设兵团）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标（4，2），过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别于AB，BC交于点M，N．

（1）求直线DE的解析式和点M的坐标；
（2）若反比例函数（x＞0）的图象经过点M，求该反比函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上．

（年蒙自市初中学业水平第一次模拟测试）如图，已知在平面直角坐标系中，是坐标原点，点在反比例函数的图象上，过点的直线交轴于点．

（1）求和的值；
（2）求的面积．

阅读理解：对于任意正实数a、b，∵(－)²≥0，∴a－2＋b≥0，∴a＋b≥2，只有当a＝b时，等号成立.
结论：在a＋b≥2（a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥2，只有当a＝b时，a＋b有最小值2.  根据上述内容，回答下列问题：
（1）若m＞0，只有当m＝       时，m＋有最小值         ；
若m＞0，只有当m＝       时，2m＋有最小值        .
（2）如图，已知直线L₁：y＝x＋1与x轴交于点A，过点A的另一直线L₂与双曲线y＝（x>0）相交于点B（2，m），求直线L₂的解析式.

（3）在（2）的条件下，若点C为双曲线上任意一点，作CD∥y轴交直线L₁于点D，试求当线段CD最短时，点A、B、C、D围成的四边形面积.

如图所示，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，一次函数 $y=2x$ 的图象 $l$ 与函数 $y=\frac{k}{x}(k>0,x>0)$ 的图象（记为 $\Gamma )$ 交于点 $A$ ，过点 $A$ 作 $\mathit{AB}\perp y$ 轴于点 $B$ ，且 $\mathit{AB}=1$ ，点 $C$ 在线段 $\mathit{OB}$ 上（不含端点），且 $\mathit{OC}=t$ ，过点 $C$ 作直线 $l_1//x$ 轴，交 $l$ 于点 $D$ ，交图象 $\Gamma$ 于点 $E$ ．

（1）求 $k$ 的值，并且用含 $t$ 的式子表示点 $D$ 的横坐标；

（2）连接 $\mathit{OE}$ 、 $\mathit{BE}$ 、 $\mathit{AE}$ ，记 $\mathit{\Delta OBE}$ 、 $\mathit{\Delta ADE}$ 的面积分别为 $S_1$ 、 $S_2$ ，设 $U=S_1-S_2$ ，求 $U$ 的最大值．

如图，一次函数 $y=\mathit{kx}+b$的图象与 $y$轴的正半轴交于点 $A$，与反比例函数 $y=\frac{4}{x}$的图象交于 $P$， $D$两点．以 $\mathit{AD}$为边作正方形 $\mathit{ABCD}$，点 $B$落在 $x$轴的负半轴上，已知 $\mathit{\Delta BOD}$的面积与 $\mathit{\Delta AOB}$的面积之比为 $1:4$．

（1）求一次函数 $y=\mathit{kx}+b$的表达式；

（2）求点 $P$的坐标及 $\mathit{\Delta CPD}$外接圆半径的长．

平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，横坐标为 $a$的点 $A$在反比例函数 $y_1==\frac{k}{x}(x>0)$的图象上，点 $A\text{'}$与点 $A$关于点 $O$对称，一次函数 $y_2=\mathit{mx}+n$的图象经过点 $A\text{'}$．

（1）设 $a=2$，点 $B(4,2)$在函数 $y_1$、 $y_2$的图象上．

①分别求函数 $y_1$、 $y_2$的表达式；

②直接写出使 $y_1>y_2>0$成立的 $x$的范围；

（2）如图①，设函数 $y_1$、 $y_2$的图象相交于点 $B$，点 $B$的横坐标为 $3a$，△ $A{A}^{\text{'}}B$的面积为16，求 $k$的值；

（3）设 $m=\frac{1}{2}$，如图②，过点 $A$作 $\mathit{AD}\perp x$轴，与函数 $y_2$的图象相交于点 $D$，以 $\mathit{AD}$为一边向右侧作正方形 $\mathit{ADEF}$，试说明函数 $y_2$的图象与线段 $\mathit{EF}$的交点 $P$一定在函数 $y_1$的图象上．

有这样一个问题：探究同一平面直角坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数 $y=\frac{1}{k}x$与 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0)$的图象性质．

小明根据学习函数的经验，对函数 $y=\frac{1}{k}x$与 $y=\frac{k}{x}$，当 $k>0$时的图象性质进行了探究．

下面是小明的探究过程：

（1）如图所示，设函数 $y=\frac{1}{k}x$与 $y=\frac{k}{x}$图象的交点为 $A$， $B$，已知 $A$点的坐标为 $(-k,-1)$，则 $B$点的坐标为　　；

（2）若点 $P$为第一象限内双曲线上不同于点 $B$的任意一点．

①设直线 $\mathit{PA}$交 $x$轴于点 $M$，直线 $\mathit{PB}$交 $x$轴于点 $N$．求证： $\mathit{PM}=\mathit{PN}$．

证明过程如下：设 $P(m,\frac{k}{m})$，直线 $\mathit{PA}$的解析式为 $y=\mathit{ax}+b(a\ne 0)$．

则 $\left\{\begin{array}{c}-\mathit{ka}+b=-1\\ \mathit{ma}+b=\frac{k}{m}\end{array}\right.$，

解得 $\left\{\begin{array}{c}a=\\ b=\end{array}\right.$　　

$\therefore$直线 $\mathit{PA}$的解析式为　　

请你把上面的解答过程补充完整，并完成剩余的证明．

②当 $P$点坐标为 $(1$， $k\left)\right(k\ne 1)$时，判断 $\mathit{\Delta PAB}$的形状，并用 $k$表示出 $\mathit{\Delta PAB}$的面积．

如图，一次函数 $y=k_{1}x+5(k_1<0)$的图象与坐标轴交于 $A$， $B$两点，与反比例函数 $y=\frac{k_2}{x}(k_2>0)$的图象交于 $M$， $N$两点，过点 $M$作 $\mathit{MC}\perp y$轴于点 $C$，已知 $\mathit{CM}=1$．

（1）求 $k_2-k_1$的值；

（2）若 $\frac{\mathit{AM}}{\mathit{AN}}=\frac{1}{4}$，求反比例函数的解析式；

（3）在（2）的条件下，设点 $P$是 $x$轴（除原点 $O$外）上一点，将线段 $\mathit{CP}$绕点 $P$按顺时针或逆时针旋转 $90°$得到线段 $\mathit{PQ}$，当点 $P$滑动时，点 $Q$能否在反比例函数的图象上？如果能，求出所有的点 $Q$的坐标；如果不能，请说明理由．