初中数学反比例函数的性质解答题

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，点 $A(3,2)$在反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象上，点 $B$在 $\mathit{OA}$的延长线上， $\mathit{BC}\perp x$轴，垂足为 $C$， $\mathit{BC}$与反比例函数的图象相交于点 $D$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{AD}$．

（1）求该反比例函数的解析式；

（2）若 $S_{\mathit{\Delta ACD}}=\frac{3}{2}$，设点 $C$的坐标为 $(a,0)$，求线段 $\mathit{BD}$的长．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，函数 $y=\frac{m}{x}(m$为常数， $m>1$， $x>0)$的图象经过点 $P(m,1)$和 $Q(1,m)$，直线 $\mathit{PQ}$与 $x$轴， $y$轴分别交于 $C$， $D$两点，点 $M(x,y)$是该函数图象上的一个动点，过点 $M$分别作 $x$轴和 $y$轴的垂线，垂足分别为 $A$， $B$．

（1）求 $\angle \mathit{OCD}$的度数；

（2）当 $m=3$， $1<x<3$时，存在点 $M$使得 $\mathit{\Delta OPM}\backsim \mathit{\Delta OCP}$，求此时点 $M$的坐标；

（3）当 $m=5$时，矩形 $\mathit{OAMB}$与 $\mathit{\Delta OPQ}$的重叠部分的面积能否等于4.1？请说明你的理由．

如图，某反比例函数图象的一支经过点 $A(2,3)$和点 $B$（点 $B$在点 $A$的右侧），作 $\mathit{BC}\perp y$轴，垂足为点 $C$，连接 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$．

（1）求该反比例函数的解析式；

（2）若 $\mathit{\Delta ABC}$的面积为6，求直线 $\mathit{AB}$的表达式．

如图，在平面直角坐标系中有三点 $(1,2)$， $(3,1)$， $(-2,-1)$，其中有两点同时在反比例函数 $y=\frac{k}{x}$的图象上，将这两点分别记为 $A$， $B$，另一点记为 $C$．

（1）求出 $k$的值；

（2）求直线 $\mathit{AB}$对应的一次函数的表达式；

（3）设点 $C$关于直线 $\mathit{AB}$的对称点为 $D$， $P$是 $x$轴上的一个动点，直接写出 $\mathit{PC}+\mathit{PD}$的最小值（不必说明理由）．

反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k$为常数，且 $k\ne 0)$的图象经过点 $A(1,3)$、 $B(3,m)$．

（1）求反比例函数的解析式及 $B$点的坐标；

（2）在 $x$轴上找一点 $P$，使 $\mathit{PA}+\mathit{PB}$的值最小，求满足条件的点 $P$的坐标．

如图，点 $M$在函数 $y=\frac{3}{x}(x>0)$的图象上，过点 $M$分别作 $x$轴和 $y$轴的平行线交函数 $y=\frac{1}{x}(x>0)$的图象于点 $B$、 $C$．

（1）若点 $M$的坐标为 $(1,3)$．

①求 $B$、 $C$两点的坐标；

②求直线 $\mathit{BC}$的解析式；

（2）求 $\mathit{\Delta BMC}$的面积．

参照学习函数的过程与方法，探究函数 $y=\frac{x-2}{x}(x\ne 0)$的图象与性质．

因为 $y=\frac{x-2}{x}=1-\frac{2}{x}$，即 $y=-\frac{2}{x}+1$，所以我们对比函数 $y=-\frac{2}{x}$来探究．

列表：

$x$	$\dots$	$-4$	$-3$	$-2$	$-1$	$-\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	1	2	3	4	$\dots$
$y=-\frac{2}{x}$	$\dots$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{3}$	1	2	4	$-4$	$-2$	$-1$	$-\frac{2}{3}$	$-\frac{1}{2}$	$\dots$
$y=\frac{x-2}{x}$	$\dots$	$\frac{3}{2}$	$\frac{5}{3}$	2	3	5	$-3$	$-1$	0	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{2}$	$\dots$

描点：在平面直角坐标系中，以自变量 $x$的取值为横坐标，以 $y=\frac{x-2}{x}$相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：

（1）请把 $y$轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来；

（2）观察图象并分析表格，回答下列问题：

①当 $x<0$时， $y$随 $x$的增大而　　；（填“增大”或“减小” $)$

② $y=\frac{x-2}{x}$的图象是由 $y=-\frac{2}{x}$的图象向　　平移　　个单位而得到；

③图象关于点　　中心对称．（填点的坐标）

（3）设 $A(x_1$， $y_1)$， $B(x_2$， $y_2)$是函数 $y=\frac{x-2}{x}$的图象上的两点，且 $x_1+x_2=0$，试求 $y_1+y_2+3$的值．

如图，已知一次函数 $y_1=k_{1}x+b(k_1\ne 0)$与反比例函数 $y_2=\frac{k_2}{x}(k_2\ne 0)$的图象交于 $A(4,1)$， $B(n,-2)$两点．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）请根据图象直接写出 $y_1<y_2$时 $x$的取值范围．

如图所示， $\text{Rt}\Delta \text{PAB}$的直角顶点 $P(3,4)$在函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象上，顶点 $A$、 $B$在函数 $y=\frac{t}{x}(x>0,0<t<k)$的图象上， $\mathit{PA}//y$轴，连接 $\mathit{OP}$， $\mathit{OA}$，记 $\mathit{\Delta OPA}$的面积为 $S_{\mathit{\Delta OPA}}$， $\mathit{\Delta PAB}$的面积为 $S_{\mathit{\Delta PAB}}$，设 $w=S_{\mathit{\Delta OPA}}-S_{\mathit{\Delta PAB}}$．

①求 $k$的值以及 $w$关于 $t$的表达式；

②若用 $w_{\mathit{max}}$和 $w_{\mathit{min}}$分别表示函数 $w$的最大值和最小值，令 $T=w_{\mathit{max}}+a^2-a$，其中 $a$为实数，求 $T_{\mathit{min}}$．

如图，直线 $y=x+b$与双曲线 $y=\frac{k}{x}(k$为常数， $k\ne 0)$在第一象限内交于点 $A(1,2)$，且与 $x$轴、 $y$轴分别交于 $B$， $C$两点．

（1）求直线和双曲线的解析式；

（2）点 $P$在 $x$轴上，且 $\mathit{\Delta BCP}$的面积等于2，求 $P$点的坐标．

如图所示，一次函数 $y_1=x+b(b$为常数）的图象与反比例函数 $y_2=\frac{2}{x}$的图象都经过点 $A(2,m)$．

（1）求点 $A$的坐标及一次函数的解析式；

（2）根据图象直接回答：在第一象限内，当 $x$取何值时 $y_1<y_2$．

已知反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象过点 $A(3,1)$．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）若一次函数 $y=\mathit{ax}+6(a\ne 0)$的图象与反比例函数的图象只有一个交点，求一次函数的解析式．

已知反比例函数 $y_1=\frac{k}{x}$的图象与一次函数 $y_2=\mathit{ax}+b$的图象交于点 $A(1,4)$和点 $B(m,-2)$．

（1）求这两个函数的表达式；

（2）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的 $x$的取值范围．

如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y=\mathit{kx}+b(k\ne 0)$的图象与反比例函数 $y=\frac{m}{x}(m\ne 0)$的图象交于 $A$、 $B$两点，与 $x$轴交于 $C$点，点 $A$的坐标为 $(n,6)$，点 $C$的坐标为 $(-2,0)$，且 $\tan \angle \mathit{ACO}=2$．

（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；

（2）求点 $B$的坐标．

如图，直线 $\mathit{AB}$与 $x$轴交于点 $A(1,0)$，与 $y$轴交于点 $B(0,2)$，将线段 $\mathit{AB}$绕点 $A$顺时针旋转 $90°$得到线段 $\mathit{AC}$，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0,x>0)$的图象经过点 $C$．

（1）求直线 $\mathit{AB}$和反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0,x>0)$的解析式；

（2）已知点 $P$是反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0,x>0)$图象上的一个动点，求点 $P$到直线 $\mathit{AB}$距离最短时的坐标．