如图，直线 $\mathit{AB}$与 $x$轴交于点 $A(1,0)$，与 $y$轴交于点 $B(0,2)$，将线段 $\mathit{AB}$绕点 $A$顺时针旋转 $90°$得到线段 $\mathit{AC}$，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0,x>0)$的图象经过点 $C$．

（1）求直线 $\mathit{AB}$和反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0,x>0)$的解析式；

（2）已知点 $P$是反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0,x>0)$图象上的一个动点，求点 $P$到直线 $\mathit{AB}$距离最短时的坐标．