如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，点 $A(3,2)$在反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象上，点 $B$在 $\mathit{OA}$的延长线上， $\mathit{BC}\perp x$轴，垂足为 $C$， $\mathit{BC}$与反比例函数的图象相交于点 $D$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{AD}$．

（1）求该反比例函数的解析式；

（2）若 $S_{\mathit{\Delta ACD}}=\frac{3}{2}$，设点 $C$的坐标为 $(a,0)$，求线段 $\mathit{BD}$的长．