如图,在平面直角坐标系 xOy 中,函数 y = m x ( m 为常数, m > 1 , x > 0 ) 的图象经过点 P ( m , 1 ) 和 Q ( 1 , m ) ,直线 PQ 与 x 轴, y 轴分别交于 C , D 两点,点 M ( x , y ) 是该函数图象上的一个动点,过点 M 分别作 x 轴和 y 轴的垂线,垂足分别为 A , B .
(1)求 ∠ OCD 的度数;
(2)当 m = 3 , 1 < x < 3 时,存在点 M 使得 ΔOPM ∽ ΔOCP ,求此时点 M 的坐标;
(3)当 m = 5 时,矩形 OAMB 与 ΔOPQ 的重叠部分的面积能否等于4.1?请说明你的理由.
解下列方程(每题4分,共8分)⑴⑵
计算与化简(每题4分,共8分)⑴ ⑵
(12分)如图1,在平面直角坐标系中有一个,点,点,将其沿直线AC翻折,翻折后图形为.动点P从点O出发,沿折线的方向以每秒2个单位的速度向B运动,同时动点Q从点B出发,在线段BO上以每秒1个单位的速度向点O运动,当其中一个点到达终点时,另一点也随之停止运动.设运动的时间为t(秒).(1)设的面积为S,求S与t之间的函数关系式,并写出自变量t的取值范围;(2)如图2,固定,将绕点C逆时针旋转,旋转后得到的三角形为,设与AC交于点D,当时,求线段CD的长;(3)如图3,在绕点C逆时针旋转的过程中,若设所在直线与OA所在直线的交点为E,是否存在点E使为等腰三角形,若存在,求出点E的坐标,若不存在,请说明理由.
(10分)在“春季经贸洽谈会”上,我市某服装厂接到生产一批出口服装的订单,要求必须在12天(含12天)内保质保量完成,且当天加工的服装当天立即空运走。为了加快进度,车间采取工人轮流休息,机器满负荷运转的生产方式,生产效率得到了提高。这样每天生产的服装数量y(套)与时间x(元)的关系如下表:
由于机器损耗等原因,当每天生产的服装数达到一定量后,平均每套服装的成本会随着服装产量的增加而增大,这样平均每套服装的成本z(元)与生产时间x(天)的关系如图所示. (1)判断每天生产的服装的数量y(套)与生产时间x(元)之间是我们学过的哪种函数关系?并验证. (2)已知这批外贸服装的订购价格为每套1570元,设车间每天的利润为w(元).求w(元)与x(天)之间的函数关系式,并求出哪一天该生产车间获得最高利润,最高利润是多少元? (3)从第6天起,该厂决定该车间每销售一套服装就捐a元给山区的留守儿童作为建图书室的基金,但必须保证每天扣除捐款后的利润随时间的增大而增大.求a的最大值,此时留守儿童共得多少元基金?
如图,已知正方形ABCD,点E是BC上一点,点F是CD延长线上一点,连接EF,若BE=DF,点P是EF的中点. (1)求证:平分; (2)若,求的面积.