初中数学规律型：数字的变化类试题

$a_1$， $a_2$， $a_3$， $a_4$， $a_5$， $a_6$， $\dots$，是一列数，已知第1个数 $a_1=4$，第5个数 $a_5=5$，且任意三个相邻的数之和为15，则第2019个数 $a_{2019}$的值是　　．

观察一列数： $-3$，0，3，6，9，12， $\dots$，按此规律，这一列数的第21个数是　　．

将一组数 $\sqrt{2}$，2， $\sqrt{6}$， $2\sqrt{2}$， $\sqrt{10}$， $\dots$， $2\sqrt{10}$，按下列方式进行排列：

$\sqrt{2}$，2， $\sqrt{6}$， $2\sqrt{2}$， $\sqrt{10}$；

$2\sqrt{3}$， $\sqrt{14}$，4， $3\sqrt{2}$， $2\sqrt{5}$；

$\dots$

若2的位置记为 $(1,2)$， $2\sqrt{3}$的位置记为 $(2,1)$，则 $\sqrt{38}$这个数的位置记为 $($　　 $)$

A． $(5,4)$B． $(4,4)$C． $(4,5)$D． $(3,5)$

观察以下一列数的特点：0，1， $-4$，9， $-16$，25， $\dots$，则第11个数是 $($　　 $)$

A． $-121$B． $-100$C．100D．121

已知一列数 $a$， $b$， $a+b$， $a+2b$， $2a+3b$， $3a+5b$， $\dots \dots$，按照这个规律写下去，第9个数是　　．

按一定规律排列的一组数： $\frac{1}{2}$， $\frac{1}{6}$， $\frac{1}{12}$， $\frac{1}{20}$， $\dots$， $\frac{1}{a}$， $\frac{1}{90}$， $\frac{1}{b}$（其中 $a$， $b$为整数），则 $a+b$的值为 $($　　 $)$

A．182B．172C．242D．200

设一列数中相邻的三个数依次为 $m$、 $n$、 $p$，且满足 $p=m^2-n$，若这列数为 $-1$，3， $-2$， $a$， $-7$， $b\dots$，则 $b=$　　．

求 $2^1+2^2+2^3+\dots +2^n$的值，解题过程如下：

解：设： $S=2^1+2^2+2^3+\dots +2^n$①

两边同乘以2得： $2S=2^2+2^3+2^4+\dots +2^{n+1}$②

由② $-$①得： $S=2^{n+1}-2$

所以 $2^1+2^2+2^3+\dots +2^n=2^{n+1}-2$

参照上面解法，计算： $1+3^1+3^2+3^3+\dots +3^{n-1}=$　　．

如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的， 称为杨辉三角形 ． 现用 $A_i$表示第三行开始， 从左往右， 从上往下， 依次出现的第 $i$个数， 例如： $A_1=1$， $A_2=2$， $A_3=1$， $A_4=1$， $A_5=3$， $A_6=3$， $A_7=1$，则 $A_{2016}=$　　．

观察图中正方形四个顶点所标的数字规律， 可知， 数 2016 应标在 $($　　 $)$

A ． 第 504 个正方形的左下角B ． 第 504 个正方形的右下角

C ． 第 505 个正方形的左上角D ． 第 505 个正方形的右下角

如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系是（　　）

A． $y＝2n+1$B． $y＝2^n+n$C． $y＝2^n{}^{+1}+n$D． $y＝2^n+n+1$

“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”，比如在化学中，甲烷的化学式CH₄，乙烷的化学式是C₂H₆，丙烷的化学式是C₃H₈，…，设碳原子的数目为n（n为正整数），则它们的化学式都可用下列哪个式子来表示（　　）

A． $C_n{H}_{2n+2}$B． $C_n{H}_{2n}$C． $C_n{H}_{2n﹣2}$D． $C_n{H}_n{}_{+3}$

古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为a₁，第二个三角数记为a₂…，第n个三角数记为a_n，计算 $a_1+a_2$， $a_2+a_3$， $a_3+a_4$，…由此推算 $a_{399}+a_{400}＝$　　．

观察下列等式：

第1个等式： $a_1=\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$，

第2个等式： $a_2=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，

第3个等式： $a_3=\frac{1}{\sqrt{3}+2}=2-\sqrt{3}$，

第4个等式： $a_4=\frac{1}{2+\sqrt{5}}=\sqrt{5}-2$，

按上述规律，回答以下问题：

（1）请写出第n个等式： $a_n＝$　；

（2） $a_1+a_2+a_3+\dots +a_n＝$　 ．

观察下列等式：

$1+2+3+4+\cdots +n=\frac{1}{2}n(n+1);$

$1+3+6+10+\cdots +\frac{1}{2}n(n+1)=\frac{1}{6}n(n+1)(n+2)$;

$1+4+10+20+\cdots +\frac{1}{6}n(n+1)(n+2)=\frac{1}{24}n(n+1)(n+2)(n+3)$;

则有： $1+5+15+35+\cdots \frac{1}{24}n(n+1)(n+2)(n+3)$＝　　．