初中数学试题

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于原点 $O$和点 $A$，且其顶点 $B$关于 $x$轴的对称点坐标为 $(2,1)$．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）抛物线的对称轴上存在定点 $F$，使得抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$上的任意一点 $G$到定点 $F$的距离与点 $G$到直线 $y=-2$的距离总相等．

①证明上述结论并求出点 $F$的坐标；

②过点 $F$的直线 $l$与抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$交于 $M$， $N$两点．

证明：当直线 $l$绕点 $F$旋转时， $\frac{1}{\mathit{MF}}+\frac{1}{\mathit{NF}}$是定值，并求出该定值；

（3）点 $C(3,m)$是该抛物线上的一点，在 $x$轴， $y$轴上分别找点 $P$， $Q$，使四边形 $\mathit{PQBC}$周长最小，直接写出 $P$， $Q$的坐标．

下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．

小明：如图1， $\left(1\right)$分别在射线OA，OB上截取 $\mathit{OC}=\mathit{OD}$， $\mathit{OE}=\mathit{OF}($点C，E不重合 $)$； $\left(2\right)$分别作线段CE，DF的垂直平分线 $l_1$， $l_2$，交点为P，垂足分别为点G，H； $\left(3\right)$作射线OP，射线即为 $\angle \mathit{AOB}$的平分线． 简述理由如下： 由作图知， $\angle \mathit{PGO}=\angle \mathit{PHO}=90°$， $\mathit{OG}=\mathit{OH}$， $\mathit{OP}=\mathit{OP}$，所以 $\mathit{Rt}△\mathit{PGO}$≌ $\mathit{Rt}△\mathit{PHO}$，则 $\angle \mathit{POG}=\angle \mathit{POH}$，即射线OP是 $\angle \mathit{AOB}$的平分线． 小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2， $\left(1\right)$分别在射线OA，OB上截取 $\mathit{OC}=\mathit{OD}$， $\mathit{OE}=\mathit{OF}($点C，E不重合 $)$； $\left(2\right)$连接DE，CF，交点为P； $\left(3\right)$作射线 $\mathit{OP}.$射线OP即为 $\angle \mathit{AOB}$的平分线． $\dots \dots$

任务：

$\left(1\right)$小明得出 $\mathit{Rt}△\mathit{PGO}$≌ $\mathit{Rt}△\mathit{PHO}$的依据是______ $($填序号 $)$．

$\mathit{①SSS②SAS③AAS④ASA⑤HL}$

$\left(2\right)$小军作图得到的射线0P是 $\angle \mathit{AOB}$的平分线吗？请判断并说明理由．

$\left(3\right)$如图3，已知 $\angle \mathit{AOB}=60°$，点E，F分别在射线OA，OB上，且 $\mathit{OE}=\mathit{OF}=\sqrt{3}+1.$点C，D分别为射线OA，OB上的动点，且 $\mathit{OC}=\mathit{OD}$，连接DE，CF，交点为P，当 $\angle \mathit{CPE}=30°$时，直接写出线段OC的长．

在一平面内，线段 $\mathit{AB}=20$，线段 $\mathit{BC}=\mathit{CD}=\mathit{DA}=10$，将这四条线段顺次首尾相接．把 $\mathit{AB}$固定，让 $\mathit{AD}$绕点 $A$从 $\mathit{AB}$开始逆时针旋转角 $\alpha (\alpha >0°)$到某一位置时， $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$将会跟随出现到相应的位置．

论证：如图1，当 $\mathit{AD}//\mathit{BC}$时，设 $\mathit{AB}$与 $\mathit{CD}$交于点 $O$，求证： $\mathit{AO}=10$；

发现：当旋转角 $\alpha =60°$时， $\angle \mathit{ADC}$的度数可能是多少？

尝试：取线段 $\mathit{CD}$的中点 $M$，当点 $M$与点 $B$距离最大时，求点 $M$到 $\mathit{AB}$的距离；

拓展：①如图2，设点 $D$与 $B$的距离为 $d$，若 $\angle \mathit{BCD}$的平分线所在直线交 $\mathit{AB}$于点 $P$，直接写出 $\mathit{BP}$的长（用含 $d$的式子表示）；

②当点 $C$在 $\mathit{AB}$下方，且 $\mathit{AD}$与 $\mathit{CD}$垂直时，直接写出 $\alpha$的余弦值．

如图是某同学正在设计的一动画示意图， $x$轴上依次有 $A$， $O$， $N$三个点，且 $\mathit{AO}=2$，在 $\mathit{ON}$上方有五个台阶 $T_1~T_5$（各拐角均为 $90°)$，每个台阶的高、宽分别是1和1.5，台阶 $T_1$到 $x$轴距离 $\mathit{OK}=10$．从点 $A$处向右上方沿抛物线 $L:y=-x^2+4x+12$发出一个带光的点 $P$．

（1）求点 $A$的横坐标，且在图中补画出 $y$轴，并直接指出点 $P$会落在哪个台阶上；

（2）当点 $P$落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与 $L$形状相同的抛物线 $C$，且最大高度为11，求 $C$的解析式，并说明其对称轴是否与台阶 $T_5$有交点；

（3）在 $x$轴上从左到右有两点 $D$， $E$，且 $\mathit{DE}=1$，从点 $E$向上作 $\mathit{EB}\perp x$轴，且 $\mathit{BE}=2$．在 $\mathit{\Delta BDE}$沿 $x$轴左右平移时，必须保证（2）中沿抛物线 $C$下落的点 $P$能落在边 $\mathit{BD}$（包括端点）上，则点 $B$横坐标的最大值比最小值大多少？

$[$注：（2）中不必写 $x$的取值范围 $]$

已知抛物线 $y=a{x}^2+\frac{9}{4}x+c$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于 $C$点，且点 $A$的坐标为 $(-1,0)$、点 $C$的坐标为 $(0,3)$．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）如图1，若该抛物线的顶点为 $P$，求 $\mathit{\Delta PBC}$的面积；

（3）如图2，有两动点 $D$、 $E$在 $\mathit{\Delta COB}$的边上运动，速度均为每秒1个单位长度，它们分别从点 $C$和点 $B$同时出发，点 $D$沿折线 $\mathit{COB}$按 $C\to O\to B$方向向终点 $B$运动，点 $E$沿线段 $\mathit{BC}$按 $B\to C$方向向终点 $C$运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为 $t$秒，请解答下列问题：

①当 $t$为何值时， $\mathit{\Delta BDE}$的面积等于 $\frac{33}{10}$；

②在点 $D$、 $E$运动过程中，该抛物线上存在点 $F$，使得依次连接 $\mathit{AD}$、 $\mathit{DF}$、 $\mathit{FE}$、 $\mathit{EA}$得到的四边形 $\mathit{ADFE}$是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点 $F$的坐标．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\mathit{BC}=6\sqrt{3}\mathit{cm}$ ， $\mathit{AC}=12\mathit{cm}$ ．点 $P$ 是 $\mathit{CA}$ 边上的一动点，点 $P$ 从点 $C$ 出发以每秒 $2\mathit{cm}$ 的速度沿 $\mathit{CA}$ 方向匀速运动，以 $\mathit{CP}$ 为边作等边 $\mathit{\Delta CPQ}$ （点 $B$ 、点 $Q$ 在 $\mathit{AC}$ 同侧），设点 $P$ 运动的时间为 $x$ 秒， $\mathit{\Delta ABC}$ 与 $\mathit{\Delta CPQ}$ 重叠部分的面积为 $S$ ．

（1）当点 $Q$ 落在 $\mathit{\Delta ABC}$ 内部时，求此时 $\mathit{\Delta ABC}$ 与 $\mathit{\Delta CPQ}$ 重叠部分的面积 $S$ （用含 $x$ 的代数式表示，不要求写 $x$ 的取值范围）；

（2）当点 $Q$ 落在 $\mathit{AB}$ 上时，求此时 $\mathit{\Delta ABC}$ 与 $\mathit{\Delta CPQ}$ 重叠部分的面积 $S$ 的值；

（3）当点 $Q$ 落在 $\mathit{\Delta ABC}$ 外部时，求此时 $\mathit{\Delta ABC}$ 与 $\mathit{\Delta CPQ}$ 重叠部分的面积 $S$ （用含 $x$ 的代数式表示）．

如图，抛物线 $y＝a{x}^2﹣2x+c（a\ne 0）$与x轴交于 $A、B（3，0）$两点，与y轴交于点 $C（0\mathit{，﹣}3）$，抛物线的顶点为D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P在抛物线的对称轴上，点Q在x轴上，若以点P、Q、B、C为顶点，BC为边的四边形为平行四边形，请直接写出点P、Q的坐标；

（3）已知点M是x轴上的动点，过点M作x的垂线交抛物线于点G，是否存在这样的点M，使得以点A、M、G为顶点的三角形与 $△\mathit{BCD}$相似，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

（1）阅读理解

我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．

根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；

（2）问题解决

勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形 $\mathit{ACDE}$的中心 $O$，作 $\mathit{FG}\perp \mathit{HP}$，将它分成4份，所分成的四部分和以 $\mathit{BC}$为边的正方形恰好能拼成以 $\mathit{AB}$为边的正方形．若 $\mathit{AC}=12$， $\mathit{BC}=5$，求 $\mathit{EF}$的值；

（3）拓展探究

如图③，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形．设大正方形 $N$的边长为定值 $n$，小正方形 $A$， $B$， $C$， $D$的边长分别为 $a$， $b$， $c$， $d$．

已知 $\angle 1=\angle 2=\angle 3=\alpha$，当角 $\alpha (0°<\alpha <90°)$变化时，探究 $b$与 $c$的关系式，并写出该关系式及解答过程 $(b$与 $c$的关系式用含 $n$的式子表示）．

已知抛物线： $y=a{x}^2-3\mathit{ax}-4a(a>0)$与 $x$轴交点为 $A$， $B(A$在 $B$的左侧），顶点为 $D$．

（1）求点 $A$， $B$的坐标及抛物线的对称轴；

（2）若直线 $y=-\frac{3}{2}x$与抛物线交于点 $M$， $N$，且 $M$， $N$关于原点对称，求抛物线的解析式；

（3）如图，将（2）中的抛物线向上平移，使得新的抛物线的顶点 $D\text{'}$在直线 $l:y=\frac{7}{8}$上，设直线 $l$与 $y$轴的交点为 $O\text{'}$，原抛物线上的点 $P$平移后的对应点为点 $Q$，若 $O\text{'}P=O\text{'}Q$，求点 $P$， $Q$的坐标．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，已知抛物线： $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$交 $x$轴于 $A(-1,0)$， $B(3,0)$两点，与 $y$轴交于点 $C(0,-\frac{3}{2})$．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）如图1，点 $D$为第四象限抛物线上一点，连接 $\mathit{OD}$，过点 $B$作 $\mathit{BE}\perp \mathit{OD}$，垂足为 $E$，若 $\mathit{BE}=2\mathit{OE}$，求点 $D$的

坐标；

（3）如图2，点 $M$为第四象限抛物线上一动点，连接 $\mathit{AM}$，交 $\mathit{BC}$于点 $N$，连接 $\mathit{BM}$，记 $\mathit{\Delta BMN}$的面积为 $S_1$， $\mathit{\Delta ABN}$的面积为 $S_2$，求 $\frac{S_1}{S_2}$的最大值．

如图，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，且 $A(-1,0)$，对称轴为直线 $x=2$．

（1）求该抛物线的函数达式；

（2）直线 $l$过点 $A$且在第一象限与抛物线交于点 $C$．当 $\angle \mathit{CAB}=45°$时，求点 $C$的坐标；

（3）点 $D$在抛物线上与点 $C$关于对称轴对称，点 $P$是抛物线上一动点，令 $P(x_P$， $y_P)$，当 $1⩽x_P⩽a$， $1⩽a⩽5$时，求 $\mathit{\Delta PCD}$面积的最大值（可含 $a$表示）．

已知在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $O$为 $\mathit{BC}$边的中点，连接 $\mathit{AO}$，将 $\mathit{\Delta AOC}$绕点 $O$顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到 $\mathit{\Delta EOF}$，连接 $\mathit{AE}$， $\mathit{CF}$．

（1）如图1，当 $\angle \mathit{BAC}=90°$且 $\mathit{AB}=\mathit{AC}$时，则 $\mathit{AE}$与 $\mathit{CF}$满足的数量关系是 　　；

（2）如图2，当 $\angle \mathit{BAC}=90°$且 $\mathit{AB}\ne \mathit{AC}$时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

（3）如图3，延长 $\mathit{AO}$到点 $D$，使 $\mathit{OD}=\mathit{OA}$，连接 $\mathit{DE}$，当 $\mathit{AO}=\mathit{CF}=5$， $\mathit{BC}=6$时，求 $\mathit{DE}$的长．

已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象过点 $(-1,0)$，且对任意实数 $x$，都有 $4x-12⩽a{x}^2+\mathit{bx}+c⩽2x^2-8x+6$．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）若（1）中二次函数图象与 $x$轴的正半轴交点为 $A$，与 $y$轴交点为 $C$；点 $M$是（1）中二次函数图象上的动点．问在 $x$轴上是否存在点 $N$，使得以 $A$、 $C$、 $M$、 $N$为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点 $N$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 与坐标轴交于 $A(0,-2)$ ， $B(4,0)$ 两点，直线 $\mathit{BC}:y=-2x+8$ 交 $y$ 轴于点 $C$ ．点 $D$ 为直线 $\mathit{AB}$ 下方抛物线上一动点，过点 $D$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $G$ ， $\mathit{DG}$ 分别交直线 $\mathit{BC}$ ， $\mathit{AB}$ 于点 $E$ ， $F$ ．

（1）求抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 的表达式；

（2）当 $\mathit{GF}=\frac{1}{2}$ 时，连接 $\mathit{BD}$ ，求 $\mathit{\Delta BDF}$ 的面积；

（3）① $H$ 是 $y$ 轴上一点，当四边形 $\mathit{BEHF}$ 是矩形时，求点 $H$ 的坐标；

②在①的条件下，第一象限有一动点 $P$ ，满足 $\mathit{PH}=\mathit{PC}+2$ ，求 $\mathit{\Delta PHB}$ 周长的最小值．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴只有一个公共点．

（1）若抛物线过点 $P(0,1)$，求 $a+b$的最小值；

（2）已知点 $P_1(-2,1)$， $P_2(2,-1)$， $P_3(2,1)$中恰有两点在抛物线上．

①求抛物线的解析式；

②设直线 $l:y=\mathit{kx}+1$与抛物线交于 $M$， $N$两点，点 $A$在直线 $y=-1$上，且 $\angle \mathit{MAN}=90°$，过点 $A$且与 $x$轴垂直的直线分别交抛物线和 $l$于点 $B$， $C$．求证： $\mathit{\Delta MAB}$与 $\mathit{\Delta MBC}$的面积相等．