高中数学试题

已知偶函数 $f\left(x\right)$ 在区间 $\left[0,+\infty )\right.$ 单调增加，则满足 $f\left(2x-1\right)<f\left(\frac{1}{3}\right)$ 的 $x$ 取值范围是（ ）

A．

$\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)$

B．

$[\frac{1}{3},\frac{2}{3})$

C．

$\left(\frac{1}{2},\frac{2}{3}\right)$

D．

$[\frac{1}{2},\frac{2}{3})$

下列4个命题

$p_1:\exists x\in (0,+\infty ),(\frac{1}{2}{)}^x<(\frac{1}{3}{)}^x$

$p_2:\exists x\in (0,1),{\mathit{log}}_{\frac{1}{2}}x>{\mathit{log}}_{\frac{1}{3}}x$

$p_3:\forall x\in (0,+\infty ),(\frac{1}{2}{)}^x>{\mathit{log}}_{\frac{1}{2}}x$

$p_4:\forall x\in (0,\frac{1}{3}),(\frac{1}{2}{)}^x<{\mathit{log}}_{\frac{1}{3}}x$

其中的真命题是（ ）

A．

$p_1,p_3$

B．

$p_1,p_4$

C．

$p_2,p_3$

D．

$p_2,p_4$

某店一个月的收入和支出总共记录了 N个数据 $a_1$ ， $a_2$ ，。。。 $a_N$ ，其中收入记为正数，支出记为负数。该店用下边的程序框图计算月总收入S和月净盈利V，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的（ ）

A．	A>0,V=S-T
B．	A<0,V=S-T
C．	A>0,V=S+T
D．	A<0,V=S+T

ABCD为长方形，AB=2，BC=1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为（ ）

A．

$\frac{\pi }{4}$

B．

$1-\frac{\pi }{4}$

C．

$\frac{\pi }{8}$

D．

$1-\frac{\pi }{8}$

已知 $\mathit{tan}\theta =2$ ，则 ${\mathit{sin}}^2\theta +\mathit{sin}\theta \mathit{cos}\theta -2{\mathit{cos}}^2\theta =$ （ ）

A．

$-\frac{4}{3}$

B．

$\frac{5}{4}$

C．

$-\frac{3}{4}$

D．

$\frac{4}{5}$

已知圆C与直线 $x-y=0$ 及 $x-y-4=0$ 都相切，圆心在直线 $x+y=0$ 上，则圆C的方程为（ ）

A．	$(x+1{)}^2+(y-1{)}^2=2$	B．	$(x-1{)}^2+(y+1{)}^2=2$
C．	$(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=2$	D．	$(x+1{)}^2+(y+1{)}^2=2$

已知函数 $f\left(x\right)$ 满足： $x\ge 4$ ，则 $f\left(x\right)=(\frac{1}{2}{)}^x$ ；当 $x<4$ 时 $f\left(x\right)=f(x+1)$ ，则 $f(2+{\mathit{log}}_{2}3)$ =（ ）

A．

$\frac{1}{24}$

B．

$\frac{1}{12}$

C．

$\frac{1}{8}$

D．

$\frac{3}{8}$

如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬 $60^0$ 纬线长和赤道长的比值为（ ）

A．

0.8

B．

0.75

C．

0.5

D．

0.25

平面向量 $a$与 $b$的夹角为 $60^0$， $a=\left(2,0\right)$， $\left|b\right|=1$，则 $\left|a+2b\right|=$（ ）

A. $\sqrt{3}$ B. $2\sqrt{3}$ C.4 D.12

已知 $\left\{a_n\right\}$ 为等差数列，且 $a_7-2a_4=-1$ ， $a_3=0$ ，则公差 $d$ =（ ）

A．

-2

B．

$-\frac{1}{2}$

C．

$\frac{1}{2}$

D．

2

已知复数 $z=1-2i$ ，那么 $\frac{1}{\overline{z}}$ =（ ）

A．

$\frac{\sqrt{5}}{5}+\frac{2\sqrt{5}}{5}i$

B．

$\frac{\sqrt{5}}{5}-\frac{2\sqrt{5}}{5}i$

C．

$\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i$

D．

$\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i$

已知集合 $M=\left\{x\left|-3<x\right.\le 5\right\}$ , $N=\left\{x\left|x<-5或x>5\right.\right\}$ ，则 $M\cup N=$ （ ）

A．	$\left\{x\left|x<-5或x>-3\right.\right\}$	B．	$\left\{x\left|-5<x<5\right.\right\}$
C．	$\left\{x\left|-3<x<5\right.\right\}$	D．	$\left\{x\left|x<-3或x>5\right.\right\}$

（1）已知矩阵 $M\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ 1& -1\end{array}\right)$所对应的线性变换把点 $A\left(x,y\right)$变成点 $A^{\text{'}}\left(13,5\right)$，试求M的逆矩阵及点A的坐标

（2）已知直线 $l:3x+4y-12=0$与 $圆C:\left\{\begin{array}{c}x=-1+2\mathit{cos}\theta \\ y=2+2\mathit{sin}\theta \end{array}\right.\left(\theta \mathit{为参数}\right)$试判断他们的公共点个数

（3）解不等式 $\left|2x-1\right|<\left|x\right|+1$.

已知函数 $f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3+a{x}^2+\mathit{bx}$ ,且 $f\text{'}(-1)=0$

(1) 试用含 $a$ 的代数式表示b,并求 $f\left(x\right)$ 的单调区间；

（2）令 $a=-1$ ,设函数 $f\left(x\right)$ 在 $x_1,x_2(x_1<x_2)$ 处取得极值，记点 $M\left(x_1,f\left(x_1\right)\right)$ ， $N\left(x_2,f\left(x_2\right)\right)$ ， $P\left(m,f\left(m\right)\right)$ , $x_1<m<x_2$ ,请仔细观察曲线 $f\left(x\right)$ 在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：

（Ⅰ）若对任意的 $m\in \left(x_1,x_2\right)$ ，线段MP与曲线 $f\left(x\right)$ 均有异于M,P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；

（Ⅱ）若存在点 $Q\left(n,f\left(n\right)\right)$ , $x\le n<m$ ,使得线段 $\mathit{PQ}$ 与曲线 $f\left(x\right)$ 有异于 $P$ 、 $Q$ 的公共点，请直接写出 $m$ 的取值范围（不必给出求解过程）

已知A,B 分别为曲线C： $\frac{x^2}{a^2}+y^2=1\left(y\ge 0,a>0\right)$与x轴的左、右两个交点，直线 $l$过点B,且与 $x$轴垂直，S为 $l$上异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T.

（1）若曲线C为半圆，点T为圆弧 $\stackrel{⏜}{\mathit{AB}}$的三等分点，试求出点S的坐标；

（2）如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在 $a$,使得O,M,S三点共线？若存在，求出 $a$的值，若不存在，请说明理由。