如图,已知直角梯形所在的平面垂直于平面
,
,
,
.
(Ⅰ)点是直线
中点,证明
平面
;
(Ⅱ)求平面与平面
所成的锐二面角的余弦值.
已知抛物线与双曲线
有公共焦点
,点
是曲线
在第一象限的交点,且
.
(1)求双曲线的方程;
(2)以双曲线的另一焦点
为圆心的圆
与直线
相切,圆
.过点
作互相垂直且分别与圆
、圆
相交的直线
和
,设
被圆
截得的弦长为
,
被圆
截得的弦长为
,问:
是否为定值?如果是,请求出这个定值;如果不是,请说明理由.
已知椭圆的中心在原点
,离心率
,右焦点为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆的上顶点为,在椭圆
上是否存在点
,使得向量
与
共线?若存在,求直线
的方程;若不存在,简要说明理由.
已知数列的首项
其中
,
令集合
.
(Ⅰ)若,写出集合
中的所有的元素;
(Ⅱ)若,且数列
中恰好存在连续的7项构成等比数列,求
的所有可能取值构成的集合;
(Ⅲ)求证:.
已知函数.
(Ⅰ)当时,求曲线
在点
处的切线方程;
(Ⅱ)求的单调区间;
(Ⅲ)若在区间
上恒成立,求实数
的取值范围.
设函数,
.
(1)记为
的导函数,若不等式
在
上有解,求实数
的取值范围;
(2)若,对任意的
,不等式
恒成立,求m(m∈Z,m
1)的值.
已知函数若函数
在x = 0处取得极值.
(1) 求实数的值;
(2) 若关于x的方程在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,求实数
的取值范围;
(3)证明:对任意的正整数n,不等式都成立.
已知函数若函数
在x = 0处取得极值.
(1) 求实数的值;
(2) 若关于x的方程在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,求实数
的取值范围;
(3) 证明:对任意的自然数n,有恒成立.
已知椭圆C的中心在原点,焦点F在轴上,离心率
,点
在椭圆C上.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若斜率为的直线
交椭圆
与
、
两点,且
、
、
成等差数列,点M(1,1),求
的最大值.
已知椭圆C的中心在原点,焦点F在轴上,离心率
,点
在椭圆C上.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若斜率为的直线
交椭圆
与
、
两点,且
、
、
成等差数列,点M(1,1),求
的最大值.
如图,平面平面
,
是等腰直角三角形,
,四边形
是直角梯形,
,
,
,点
、
分别为
、
的中点.
(1)求证:平面
;
(2)求直线和平面
所成角的正弦值;
(3)能否在上找到一点
,使得
平面
?若能,请指出点
的位置,并加以证明;若不能,请说明理由 .
已知等比数列满足
.
(1)求数列的通项公式;
(2)在与
之间插入
个数连同
与
按原顺序组成一个公差为
(
)的等差数列.
①设,求数列
的前
和
;
②在数列中是否存在三项
(其中
成等差数列)成等比数列?若存在,求出这样的三项;若不存在,说明理由.
如图,某生态园欲把一块四边形地辟为水果园,其中
,
,
.若经过
上一点
和
上一点
铺设一条道路
,且
将四边形
分成面积相等的两部分,设
.
(1)求的关系式;
(2)如果是灌溉水管的位置,为了省钱,希望它最短,求
的长的最小值;
(3)如果是参观路线,希望它最长,那么
的位置在哪里?