在平面直角坐标系中,直线l与抛物线
相交于不同的两点A,B.
(I)如果直线l过抛物线的焦点,求的值;
(II)如果,证明直线l必过一定点,并求出该定点坐标.
如图,在轴上方有一段曲线弧
,其端点
、
在
轴上(但不属于
),对
上任一点
及点
,
,满足:
.直线
,
分别交直线
于
,
两点.
(Ⅰ)求曲线弧的方程;
(Ⅱ)求的最小值(用
表示);
设函数,
,其中实数
.
(1)若,求函数
的单调区间;
(2)当函数与
的图象只有一个公共点且
存在最小值时,记
的最小值为
,求
的值域;
(3)若与
在区间
内均为增函数,求实数
的取值范围.
设函数.
(1)当时,证明:函数
不是奇函数;
(2)设函数是奇函数,求
与
的值;
(3)在(2)条件下,判断并证明函数的单调性,并求不等式
的解集.
已知函数.
(1)若存在,使不等式
成立,求实数
的取值范围;
(2)设,证明:
.
已知数列的奇数项是首项为1的等差数列,偶数项是首项为2的等比数列.数列
前
项和为
,且满足
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列前
项和
;
(3)在数列中,是否存在连续的三项
,按原来的顺序成等差数列?若存在,求出所有满足条件的正整数
的值;若不存在,说明理由.
在平面直角坐标系中,已知椭圆
:
的离心率
,且椭圆C上一点
到点Q
的距离最大值为4,过点
的直线交椭圆
于点
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设P为椭圆上一点,且满足(O为坐标原点),当
时,求实数
的取值范围.
设,函数
.
(1)若,求曲线
在点
处的切线方程;
(2)求函数的单调区间;
(3)当时,求函数
在
上的最小值.
已知椭圆的离心率为
,直线
与以原点为圆心、椭圆
的短半轴长为半径的圆
相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)如图,、
、
是椭圆
的顶点,
是椭圆
上除顶点外的任意点,直线
交
轴于点
,直线
交
于点
,设
的斜率为
,
的斜率为
,求证:
为定值.
设,函数
.
(1)若,求曲线
在点
处的切线方程;
(2)若无零点,求实数
的取值范围;
(3)若有两个相异零点
、
,求证:
.
已知椭圆的离心率为
,直线
与以原点为圆心、椭圆
的短半轴长为半径的圆
相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)如图,、
、
是椭圆
的顶点,
是椭圆
上除顶点外的任意点,直线
交
轴于点
,直线
交
于点
,设
的斜率为
,
的斜率为
,求证:
为定值.
如图,已知矩形中,
,
,将矩形沿对角线
把
折起,使
移到
点,且
在平面
上的射影
恰好在
上.
(1)求证:;
(2)求证:平面平面
;
(3)求二面角的余弦值.
已知函数,
,
(Ⅰ)若,求函数
的极值;
(Ⅱ)若函数在
上单调递减,求实数
的取值范围;
(Ⅲ)在函数的图象上是否存在不同的两点
,使线段
的中点的横坐标
与直线
的斜率
之间满足
?若存在,求出
;若不存在,请说明理由.
已知抛物线的焦点为F2,点F1与F2关于坐标原点对称,以F1,F2为焦点的椭圆C过点
.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)设点,过点F2作直线
与椭圆C交于A,B两点,且
,若
的取值范围.
已知数列满足
,
(
且
).
(Ⅰ)求数列的通项公式
;
(Ⅱ)令,记数列
的前
项和为
,若
恒为一个与
无关的常数
,试求常数
和
.