高中数学解答题

选修4-5：不等式选讲
已知函数
（1）解不等式
（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．

选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，过点的直线的参数方程为（为参数），直线与曲线分别交于两点．
（1）写出曲线的平面直角坐标方程和直线的普通方程；
（2）若成等比数列，求实数的值．

已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）若，且对任意恒成立，求的最大值；
（3）对于在区间上任意一个常数，是否存在正数，使得成立？请说明理由．

心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30,女20），给所有同学几何体和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答，选题情况如下表（单位:人）

	几何题	代数题	总计
男同学	22	8	30
女同学	8	12	20
总计	30	20	50

（1）能否据此判断有97．5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？
（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5-7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6-8分钟，现甲，乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率；
（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的大题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为，求的分布列及数学期望．
附表及公式：

	0．15	0．10	0．05	0．025	0．010	0．005	0．001
	2．072	2．706	3．841	5．024	6．635	7．879	10．828

如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，垂直于和，是棱的中点．

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成的二面角的余弦值；
（3）设点是直线上的动点，与平面所成的角为，求的最大值．

已知数列的前项和为，向量满足条件．
（1）求数列的通项公式；
（2）设函数，数列满足条件．
①求数列的通项公式；
②设，求数列的前项和．

如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，Q为AD的中点，.

（1）求证：平面PQB；
（2）点M在线段PC上，，试确定t的值，使平面MQB.

已知函数.
（1）当时，求函数的零点；
（2）若函数有零点，求实数a的取值范围.

选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，圆的参数方程为，（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求圆的极坐标方程；
（2）直线的极坐标方程是，射线与圆的交点为，与直线的交点为，求线段的长.

设三个内角所对的边分别为，已知，.
（1）求角的大小；
（2）如图，在内取一点，使得，过点分别作直线的垂线，垂足分别是，设，求的最大值及此时的值.

解关于的不等式（其中）．

已知等比数列满足：公比，数列的前项和为，且（）．
（1）求数列和数列的通项和；
（2）设，证明：．

（1）已知，求的最小值；
（2）已知，求的最大值．

已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．

一次考试中，5名同学的语文、英语成绩如下表所示：

（1）根据表中数据，求英语分y对语文分x的线性回归方程；
（2）要从4名语文成绩在90分（含90分）以上的同学中选出2名参加一项活动，以表示选中的同学的英语成绩高于90分的人数，求随机变量的分布列及数学期望．
（线性回归方程，，，其中，为样本平均值，，的值的结果保留二位小数．）