初中数学等腰直角三角形试题

如图，在平面直角坐标系中，△ $P_{1}O{A}_1$，△ $P_2{A}_1{A}_2$，△ $P_3{A}_2{A}_3$， $\dots$都是等腰直角三角形，其直角顶点 $P_1(3,3)$， $P_2$， $P_3$， $\dots$均在直线 $y=-\frac{1}{3}x+4$上．设△ $P_{1}O{A}_1$，△ $P_2{A}_1{A}_2$，△ $P_3{A}_2{A}_3$， $\dots$的面积分别为 $S_1$， $S_2$， $S_3$， $\dots$，依据图形所反映的规律， $S_{2018}=$　          　．

问题：已知 $\alpha$、 $\beta$均为锐角， $\tan \alpha =\frac{1}{2}$， $\tan \beta =\frac{1}{3}$，求 $\alpha +\beta$的度数．

探究：（1）用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为 $1)$，请借助这个网格图求出 $\alpha +\beta$的度数；

延伸：（2）设经过图中 $M$、 $P$、 $H$三点的圆弧与 $\mathit{AH}$交于 $R$，求 $\stackrel{̂}{\mathit{MR}}$的弧长．

如图，两条直线 $l_1//l_2$， $\text{Rt}\Delta \text{ACB}$中， $\angle C=90°$， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$，顶点 $A$、 $B$分别在 $l_1$和 $l_2$上， $\angle 1=20°$，则 $\angle 2$的度数是 $($　　 $)$

A． $45°$B． $55°$C． $65°$D． $75°$

在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle B+\angle D=180°$，对角线 $\mathit{AC}$平分 $\angle \mathit{BAD}$．

（1）如图1，若 $\angle \mathit{DAB}=120°$，且 $\angle B=90°$，试探究边 $\mathit{AD}$、 $\mathit{AB}$与对角线 $\mathit{AC}$的数量关系并说明理由．

（2）如图2，若将（1）中的条件“ $\angle B=90°$”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由．

（3）如图3，若 $\angle \mathit{DAB}=90°$，探究边 $\mathit{AD}$、 $\mathit{AB}$与对角线 $\mathit{AC}$的数量关系并说明理由．

如图，等腰 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中，斜边 $\mathit{AB}$的长为2， $O$为 $\mathit{AB}$的中点， $P$为 $\mathit{AC}$边上的动点， $\mathit{OQ}\perp \mathit{OP}$交 $\mathit{BC}$于点 $Q$， $M$为 $\mathit{PQ}$的中点，当点 $P$从点 $A$运动到点 $C$时，点 $M$所经过的路线长为 $($　　 $)$

A． $\frac{\sqrt{2}}{4}\pi$B． $\frac{\sqrt{2}}{2}\pi$C．1D．2

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{CD}$是中线， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$，一个以点 $D$为顶点的 $45°$角绕点 $D$旋转，使角的两边分别与 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$的延长线相交，交点分别为点 $E$， $F$， $\mathit{DF}$与 $\mathit{AC}$交于点 $M$， $\mathit{DE}$与 $\mathit{BC}$交于点 $N$．

（1）如图1，若 $\mathit{CE}=\mathit{CF}$，求证： $\mathit{DE}=\mathit{DF}$；

（2）如图2，在 $\angle \mathit{EDF}$绕点 $D$旋转的过程中：

①探究三条线段 $\mathit{AB}$， $\mathit{CE}$， $\mathit{CF}$之间的数量关系，并说明理由；

②若 $\mathit{CE}=4$， $\mathit{CF}=2$，求 $\mathit{DN}$的长．

已知 $O$为直线 $\mathit{MN}$上一点， $\mathit{OP}\perp \mathit{MN}$，在等腰 $\text{Rt}\Delta \text{ABO}$中， $\angle \mathit{BAO}=90°$， $\mathit{AC}//\mathit{OP}$交 $\mathit{OM}$于 $C$， $D$为 $\mathit{OB}$的中点， $\mathit{DE}\perp \mathit{DC}$交 $\mathit{MN}$于 $E$．

（1）如图1，若点 $B$在 $\mathit{OP}$上，则

① $\mathit{AC}$　 $\mathit{ }$　 $\mathit{OE}$（填“ $<$”，“ $=$”或“ $>$” $)$；

②线段 $\mathit{CA}$、 $\mathit{CO}$、 $\mathit{CD}$满足的等量关系式是　    　；

（2）将图1中的等腰 $\text{Rt}\Delta \text{ABO}$绕 $O$点顺时针旋转 $\alpha (0°<\alpha <45°)$，如图2，那么（1）中的结论②是否成立？请说明理由；

（3）将图1中的等腰 $\text{Rt}\Delta \text{ABO}$绕 $O$点顺时针旋转 $\alpha (45°<\alpha <90°)$，请你在图3中画出图形，并直接写出线段 $\mathit{CA}$、 $\mathit{CO}$、 $\mathit{CD}$满足的等量关系式　   　．

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}//\mathit{BC}$， $\angle \mathit{ABC}=90°$， $\mathit{AB}=2\sqrt{7}$， $B{B}^{\text{'}}=2$， $\mathit{AD}=2$，将 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $C$顺时针方向旋转后得△ $A\text{'}B\text{'}C$，当 $A\text{'}B\text{'}$恰好经过点 $D$时，△ $B\text{'}\mathit{CD}$为等腰三角形，则 $\mathit{AA}\text{'}=($　　 $)$

A． $\sqrt{11}$B． $2\sqrt{3}$C． $\sqrt{13}$D． $\sqrt{14}$

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}=4$， $\angle \mathit{ACB}=90°$，正方形 $\mathit{BDEF}$的边长为2，将正方形 $\mathit{BDEF}$绕点 $B$旋转一周，连接 $\mathit{AE}$、 $\mathit{BE}$、 $\mathit{CD}$．

（1）请找出图中与 $\mathit{\Delta ABE}$相似的三角形，并说明理由；

（2）求当 $A$、 $E$、 $F$三点在一直线上时 $\mathit{CD}$的长；

（3）设 $\mathit{AE}$的中点为 $M$，连接 $\mathit{FM}$，试求 $\mathit{FM}$长的取值范围．

如图，扇形 $\mathit{OAB}$中， $\angle \mathit{AOB}=90°$． $P$为弧 $\mathit{AB}$上的一点，过点 $P$作 $\mathit{PC}\perp \mathit{OA}$，垂足为 $C$， $\mathit{PC}$与 $\mathit{AB}$交于点 $D$．若 $\mathit{PD}=2$， $\mathit{CD}=1$，则该扇形的半径长为　     　．

定义：若实数 $x$， $y$满足 $x^2=2y+t$， $y^2=2x+t$，且 $x\ne y$， $t$为常数，则称点 $M(x,y)$为“线点”．例如，点 $(0,-2)$和 $(-2,0)$是“线点”．已知：在直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，点 $P(m,n)$．

（1） $P_1(3,1)$和 $P_2(-3,1)$两点中，点　   　是“线点”；

（2）若点 $P$是“线点”，用含 $t$的代数式表示 $\mathit{mn}$，并求 $t$的取值范围；

（3）若点 $Q(n,m)$是“线点”，直线 $\mathit{PQ}$分别交 $x$轴、 $y$轴于点 $A$， $B$，当 $|\angle \mathit{POQ}-\angle \mathit{AOB}|=30°$时，直接写出 $t$的值．

已知：等腰直角三角形 $\mathit{ABC}$的腰长为4，点 $M$在斜边 $\mathit{AB}$上，点 $P$为该平面内一动点，且满足 $\mathit{PC}=2$，则 $\mathit{PM}$的最小值为 $($　　 $)$

A．2B． $2\sqrt{2}-2$C． $2\sqrt{2}+2$D． $2\sqrt{2}$

如图， $\mathit{\Delta ABC}$和 $\mathit{\Delta ADE}$是有公共顶点的等腰直角三角形， $\angle \mathit{BAC}=\angle \mathit{DAE}=90°$，点 $P$为射线 $\mathit{BD}$， $\mathit{CE}$的交点．

（1）求证： $\mathit{BD}=\mathit{CE}$；

（2）若 $\mathit{AB}=2$， $\mathit{AD}=1$，把 $\mathit{\Delta ADE}$绕点 $A$旋转，当 $\angle \mathit{EAC}=90°$时，求 $\mathit{PB}$的长；

如图，已知 $\mathit{AB}$、 $\mathit{CD}$为 $\odot O$的两条直径， $\mathit{DF}$为切线，过 $\mathit{AO}$上一点 $N$作 $\mathit{NM}\perp \mathit{DF}$于 $M$，连接 $\mathit{DN}$并延长交 $\odot O$于点 $E$，连接 $\mathit{CE}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta DMN}\backsim \mathit{\Delta CED}$．

（2）设 $G$为点 $E$关于 $\mathit{AB}$对称点，连接 $\mathit{GD}$、 $\mathit{GN}$，如果 $\angle \mathit{DNO}=45°$， $\odot O$的半径为3，求 $D{N}^2+G{N}^2$的值．

如图，已知 $\odot C$的半径为3，圆外一定点 $O$满足 $\mathit{OC}=5$，点 $P$为 $\odot C$上一动点，经过点 $O$的直线 $l$上有两点 $A$、 $B$，且 $\mathit{OA}=\mathit{OB}$， $\angle \mathit{APB}=90°$， $l$不经过点 $C$，则 $\mathit{AB}$的最小值为　　．