初中数学等腰直角三角形试题

在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ， $D$ 是边 $\mathit{BC}$ 上一动点，连接 $\mathit{AD}$ ，将 $\mathit{AD}$ 绕点 $A$ 逆时针旋转至 $\mathit{AE}$ 的位置，使得 $\angle \mathit{DAE}+\angle \mathit{BAC}=180°$ ．

（1）如图1，当 $\angle \mathit{BAC}=90°$ 时，连接 $\mathit{BE}$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $F$ ．若 $\mathit{BE}$ 平分 $\angle \mathit{ABC}$ ， $\mathit{BD}=2$ ，求 $\mathit{AF}$ 的长；

（2）如图2，连接 $\mathit{BE}$ ，取 $\mathit{BE}$ 的中点 $G$ ，连接 $\mathit{AG}$ ．猜想 $\mathit{AG}$ 与 $\mathit{CD}$ 存在的数量关系，并证明你的猜想；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接 $\mathit{DG}$ ， $\mathit{CE}$ ．若 $\angle \mathit{BAC}=120°$ ，当 $\mathit{BD}>\mathit{CD}$ ， $\angle \mathit{AEC}=150°$ 时，请直接写出 $\frac{\mathit{BD}-\mathit{DG}}{\mathit{CE}}$ 的值．

已知 $\mathit{\Delta ABC}$与 $\mathit{\Delta ABD}$在同一平面内，点 $C$， $D$不重合， $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{ABD}=30°$， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{AC}=\mathit{AD}=2\sqrt{2}$，则 $\mathit{CD}$长为 　　．

如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形 $\mathit{ABCD}$ ，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为 $S_1$ ，另两张直角三角形纸片的面积都为 $S_2$ ，中间一张矩形纸片 $\mathit{EFGH}$ 的面积为 $S_3$ ， $\mathit{FH}$ 与 $\mathit{GE}$ 相交于点 $O$ ．当 $\mathit{\Delta AEO}$ ， $\mathit{\Delta BFO}$ ， $\mathit{\Delta CGO}$ ， $\mathit{\Delta DHO}$ 的面积相等时，下列结论一定成立的是 $($ 　　 $)$

A．

$S_1=S_2$

B．

$S_1=S_3$

C．

$\mathit{AB}=\mathit{AD}$

D．

$\mathit{EH}=\mathit{GH}$

已知 $\mathit{\Delta ABC}$的三个顶点都是同一个正方形的顶点， $\angle \mathit{ABC}$的平分线与线段 $\mathit{AC}$交于点 $D$．若 $\mathit{\Delta ABC}$的一条边长为6，则点 $D$到直线 $\mathit{AB}$的距离为　　．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\mathit{AC}=\mathit{BC}=4$ ，点 $D$ 是 $\mathit{BC}$ 边的中点，点 $P$ 是 $\mathit{AC}$ 边上一个动点，连接 $\mathit{PD}$ ，以 $\mathit{PD}$ 为边在 $\mathit{PD}$ 的下方作等边三角形 $\mathit{PDQ}$ ，连接 $\mathit{CQ}$ ．则 $\mathit{CQ}$ 的最小值是 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

B．

1

C．

$\sqrt{2}$

D．

$\frac{3}{2}$

如图， $\mathit{BD}$ 是正方形 $\mathit{ABCD}$ 的一条对角线， $E$ 是 $\mathit{BD}$ 上一点， $F$ 是 $\mathit{CB}$ 延长线上一点，连接 $\mathit{CE}$ ， $\mathit{EF}$ ， $\mathit{AF}$ ．若 $\mathit{DE}=\mathit{DC}$ ， $\mathit{EF}=\mathit{EC}$ ，则 $\angle \mathit{BAF}$ 的度数为 　　．

如图， $\mathit{BD}$是正方形 $\mathit{ABCD}$的一条对角线， $E$是 $\mathit{BD}$上一点， $F$是 $\mathit{CB}$延长线上一点，连接 $\mathit{CE}$， $\mathit{EF}$， $\mathit{AF}$．若 $\mathit{DE}=\mathit{DC}$， $\mathit{EF}=\mathit{EC}$，则 $\angle \mathit{BAF}$的度数为 　　．

已知 $\mathit{\Delta AOB}$ 和 $\mathit{\Delta MON}$ 都是等腰直角三角形 $(\frac{\sqrt{2}}{2}\mathit{OA}<\mathit{OM}<\mathit{OA})$ ， $\angle \mathit{AOB}=\angle \mathit{MON}=90°$ ．

（1）如图1，连接 $\mathit{AM}$ ， $\mathit{BN}$ ，求证： $\mathit{AM}=\mathit{BN}$ ；

（2）将 $\mathit{\Delta MON}$ 绕点 $O$ 顺时针旋转．

①如图2，当点 $M$ 恰好在 $\mathit{AB}$ 边上时，求证： $A{M}^2+B{M}^2=2O{M}^2$ ；

②当点 $A$ ， $M$ ， $N$ 在同一条直线上时，若 $\mathit{OA}=4$ ， $\mathit{OM}=3$ ，请直接写出线段 $\mathit{AM}$ 的长．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$ 和 $\mathit{\Delta DEF}$ 都是等腰直角三角形， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ， $\angle \mathit{BAC}=90°$ ， $\mathit{DE}=\mathit{DF}$ ， $\angle \mathit{EDF}=90°$ ， $D$ 为 $\mathit{BC}$ 边中点，连接 $\mathit{AF}$ ，且 $A$ 、 $F$ 、 $E$ 三点恰好在一条直线上， $\mathit{EF}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $H$ ，连接 $\mathit{BF}$ ， $\mathit{CE}$ ．

（1）求证： $\mathit{AF}=\mathit{CE}$ ；

（2）猜想 $\mathit{CE}$ ， $\mathit{BF}$ ， $\mathit{BC}$ 之间的数量关系，并证明；

（3）若 $\mathit{CH}=2$ ， $\mathit{AH}=4$ ，请写出线段 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{AE}$ 的长．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，对于 $A$ 、 $A\text{'}$ 两点，若在 $y$ 轴上存在点 $T$ ，使得 $\angle \mathit{ATA}\text{'}=90°$ ，且 $\mathit{TA}=\mathit{TA}\text{'}$ ，则称 $A$ 、 $A\text{'}$ 两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点．已知点 $M(-2,0)$ 、 $N(-1,0)$ ，点 $Q(m,n)$ 在一次函数 $y=-2x+1$ 的图象上．

（1）①如图，在点 $B(2,0)$ 、 $C(0,-1)$ 、 $D(-2,-2)$ 中，点 $M$ 的关联点是 　 $B$ 　（填" $B$ "、" $C$ "或" $D$ " $)$ ；

②若在线段 $\mathit{MN}$ 上存在点 $P(1,1)$ 的关联点 $P\text{'}$ ，则点 $P\text{'}$ 的坐标是 　　；

（2）若在线段 $\mathit{MN}$ 上存在点 $Q$ 的关联点 $Q\text{'}$ ，求实数 $m$ 的取值范围；

（3）分别以点 $E(4,2)$ 、 $Q$ 为圆心，1为半径作 $\odot E$ 、 $\odot Q$ ．若对 $\odot E$ 上的任意一点 $G$ ，在 $\odot Q$ 上总存在点 $G\text{'}$ ，使得 $G$ 、 $G\text{'}$ 两点互相关联，请写出点 $Q$ 的坐标．

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$ 外取一点 $E$ ，连接 $\mathit{DE}$ ， $\mathit{AE}$ ， $\mathit{CE}$ ，过点 $D$ 作 $\mathit{DE}$ 的垂线交 $\mathit{AE}$ 于点 $P$ ，若 $\mathit{DE}=\mathit{DP}=1$ ， $\mathit{PC}=\sqrt{6}$ ．下列结论：① $\mathit{\Delta APD}\cong \mathit{\Delta CED}$ ；② $\mathit{AE}\perp \mathit{CE}$ ；③点 $C$ 到直线 $\mathit{DE}$ 的距离为 $\sqrt{3}$ ；④ $S_{\mathit{正方形}\mathit{ABCD}}=5+2\sqrt{2}$ ，其中正确结论的序号为 　　．

如图①， $E$ 、 $F$ 是等腰 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 的斜边 $\mathit{BC}$ 上的两动点， $\angle \mathit{EAF}=45°$ ， $\mathit{CD}\perp \mathit{BC}$ 且 $\mathit{CD}=\mathit{BE}$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABE}\cong \mathit{\Delta ACD}$ ；

（2）求证： $E{F}^2=B{E}^2+C{F}^2$ ；

（3）如图②，作 $\mathit{AH}\perp \mathit{BC}$ ，垂足为 $H$ ，设 $\angle \mathit{EAH}=\alpha$ ， $\angle \mathit{FAH}=\beta$ ，不妨设 $\mathit{AB}=\sqrt{2}$ ，请利用（2）的结论证明：当 $\alpha +\beta =45°$ 时， $\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \cdot \tan \beta }$ 成立．

在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ABC}=90°$， $\mathit{AB}=2$， $\mathit{BC}=3$．点 $D$为平面上一个动点， $\angle \mathit{ADB}=45°$，则线段 $\mathit{CD}$长度的最小值为 　　．

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$中， $E$， $F$为边 $\mathit{AB}$上的两个三等分点，点 $A$关于 $\mathit{DE}$的对称点为 $A\text{'}$， $\mathit{AA}\text{'}$的延长线交 $\mathit{BC}$于点 $G$．

（1）求证： $\mathit{DE}//A\text{'}F$；

（2）求 $\angle \mathit{GA}\text{'}B$的大小；

（3）求证： $A\text{'}C=2A\text{'}B$．

定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．

（1）如图1， $\angle E$是 $\mathit{\Delta ABC}$中 $\angle A$的遥望角，若 $\angle A=\alpha$，请用含 $\alpha$的代数式表示 $\angle E$．

（2）如图2，四边形 $\mathit{ABCD}$内接于 $\odot O$， $\stackrel{̂}{\mathit{AD}}=\stackrel{̂}{\mathit{BD}}$，四边形 $\mathit{ABCD}$的外角平分线 $\mathit{DF}$交 $\odot O$于点 $F$，连结 $\mathit{BF}$并延长交 $\mathit{CD}$的延长线于点 $E$．求证： $\angle \mathit{BEC}$是 $\mathit{\Delta ABC}$中 $\angle \mathit{BAC}$的遥望角．

（3）如图3，在（2）的条件下，连结 $\mathit{AE}$， $\mathit{AF}$，若 $\mathit{AC}$是 $\odot O$的直径．

①求 $\angle \mathit{AED}$的度数；

②若 $\mathit{AB}=8$， $\mathit{CD}=5$，求 $\mathit{\Delta DEF}$的面积．