初中数学等腰直角三角形试题

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=4$ ，点 $E$ 是边 $\mathit{AD}$ 的中点，点 $F$ 是对角线 $\mathit{BD}$ 上一动点， $\angle \mathit{ADB}=30°$ ．连结 $\mathit{EF}$ ，作点 $D$ 关于直线 $\mathit{EF}$ 的对称点 $P$ ．

（1）若 $\mathit{EF}\perp \mathit{BD}$ ，求 $\mathit{DF}$ 的长；

（2）若 $\mathit{PE}\perp \mathit{BD}$ ，求 $\mathit{DF}$ 的长；

（3）直线 $\mathit{PE}$ 交 $\mathit{BD}$ 于点 $Q$ ，若 $\mathit{\Delta DEQ}$ 是锐角三角形，求 $\mathit{DF}$ 长的取值范围．

（1）已知 $\mathit{\Delta ABC}$ ， $\mathit{\Delta ADE}$ 如图①摆放，点 $B$ ， $C$ ， $D$ 在同一条直线上， $\angle \mathit{BAC}=\angle \mathit{DAE}=90°$ ， $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{ADE}=45°$ ．连接 $\mathit{BE}$ ，过点 $A$ 作 $\mathit{AF}\perp \mathit{BD}$ ，垂足为点 $F$ ，直线 $\mathit{AF}$ 交 $\mathit{BE}$ 于点 $G$ ．求证： $\mathit{BG}=\mathit{EG}$ ．

（2）已知 $\mathit{\Delta ABC}$ ， $\mathit{\Delta ADE}$ 如图②摆放， $\angle \mathit{BAC}=\angle \mathit{DAE}=90°$ ， $\angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{ADE}=30°$ ．连接 $\mathit{BE}$ ， $\mathit{CD}$ ，过点 $A$ 作 $\mathit{AF}\perp \mathit{BE}$ ，垂足为点 $F$ ，直线 $\mathit{AF}$ 交 $\mathit{CD}$ 于点 $G$ ．求 $\frac{\mathit{DG}}{\mathit{CG}}$ 的值．