2011年全国统一高考数学试卷（江苏卷）

已知集合 $A=\left\{-1,1,2,4\right\}$ , $B=\left\{-1,0,2\right\}$ 则 $A\cap B=$    .

函数 $f\left(x\right)={\log }_5(2x+1)$的单调增区间是.

设复数 $i$满足 $i(z+1)=-3+2i$（ $i$是虚数单位），则 $z$的实部是.

根据如图所示的伪代码，当输入 $a,b$ 分别为2，3时，最后输出的 $m$ 的值是 .

从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是

某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差 $s^2=$

已知 $\tan \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=2$则 $\frac{\tan x}{\tan 2x}$的值为

在平面直角坐标系 $xOy$中，过坐标原点的一条直线与函数 $f\left(x\right)=\frac{2}{x}$的图象交于 $P$、 $Q$两点，则线段 $PQ$长的最小值是.

函数 $f\left(x\right)=A\sin \left(\omega x+\phi \right),\left(A,\omega ,\phi \mathrm{是常数},A>0,\omega >0\right)$ 的部分图象如图所示，则 $f\left(0\right)=$   .

已知 $\stackrel{\rightharpoonup }{e_1},\stackrel{\rightharpoonup }{e_2}$是夹角为 $\frac{2\pi }{3}$的两个单位向量, $\stackrel{\rightharpoonup }{a}=\stackrel{\rightharpoonup }{e_1}-2\stackrel{\rightharpoonup }{e_2},\stackrel{\rightharpoonup }{b}=k\stackrel{\rightharpoonup }{e_1}+\stackrel{\rightharpoonup }{e_2}$.若 $\stackrel{\rightharpoonup }{a}·\stackrel{\rightharpoonup }{b}=0$,则 $k$的值为.

已知实数 $a\ne 0$，函数 $f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}2x+a,x<1\\ -x-2a,x\ge 1\end{array}$，若 $f(1-a)=f(1+a)$，则 $a$的值为.

在平面直角坐标系 $xOy$中，已知点 $P$是函数 $f\left(x\right)=e^x(x>0)$的图象上的动点，该图象在 $P$处的切线 $l$交 $y$轴于点 $M$，过点 $P$作 $l$的垂线交 $y$轴于点 $N$，设线段 $MN$的中点的纵坐标为 $t$，则 $t$的最大值是

设 $1=a_1\le a_2\le \dots \le a_7$，其中 $a_1,a_3,a_5,a_7$成公比为 $q$的等比数列， $a_2,a_4,a_6$成公差为1的等差数列，则 $q$的最小值是

设集合 $A=\left\{\right(x,y\left)\right|\frac{m}{2}\le (x-2{)}^2+y^2\le m^2,x,y\in R\}$, $B=\left\{\right(x,y\left)\right|2m\le x+y\le 2m+1,x,y\in R\}$若 $A\cap B\ne \varphi$则实数 $m$的取值范围是.

在 $△ABC$中，角 $A,B,C$所对应的边为 $a,b,c$

（1）若 $\sin (A+\frac{\mathrm{\pi }}{6})=2\cos A$,求 $A$的值；
（2）若 $\cos A=\frac{1}{3},b=3c$，求 $\sin C$的值.

如图，在四棱锥 $P-ABCD$中，平面 $PAD\perp$平面 $ABCD$， $AB=AD$， $\angle BAD={60}^{°}$， $E,F$分别是 $AP,AD$的中点.
求证：（1）直线 $EF//$平面 $PCD$；
（2）平面 $BEF\perp$平面 $PAD$.

请你设计一个包装盒，如图所示， $ABCD$是边长为60 $cm$的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 $ABCD$四个点重合于图中的点 $P$，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒， $E,F$在 $AB$上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设 $AE=FB=xcm$.

（1）若广告商要求包装盒侧面积 $S\left(c{m}^2\right)$最大，试问 $x$应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积 $V\left(c{m}^3\right)$最大，试问 $x$应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.

如图，在平面直角坐标系 $xOy$中， $M,N$分别是椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于 $P,A$两点，其中 $P$在第一象限．过 $P$作 $x$轴的垂线，垂足为 $C$．连接 $AC$，并延长交椭圆于点 $B$．设直线 $PA$的斜率为 $k$．

（Ⅰ）当直线 $PA$平分线段 $MN$时，求 $k$的值；
（Ⅱ）当 $k=2$时，求点 $P$到直线 $AB$的距离；
（Ⅲ）对任意 $k>0$，求证： $PA\perp PB$．

已知 $a$， $b$是实数，函数 $f\left(x\right)=x^3+ax$, $f^{`}\left(x\right)$和 $g^{`}\left(x\right)$是 $f\left(x\right)$的导函数，若 $f^{`}\left(x\right)g^{`}\left(x\right)\ge 0$在区间I上恒成立，则称 $f\left(x\right)$和 $g\left(x\right)$在区间I上单调性一致
（1）设 $a>0$，若函数 $f\left(x\right)$和 $g\left(x\right)$在区间 $[-1,+\infty )$上单调性一致,求实数 $b$的取值范围；
（2）设 $a<0$且 $a\ne b$，若函数 $f\left(x\right)$和 $g\left(x\right)$在以 $a$， $b$为端点的开区间上单调性一致，求 $\left|a-b\right|$的最大值。

$S_{n+k}+S_{n-k}=2(S_n+S_k)$设 $M$为部分正整数组成的集合，数列 $\left\{a_n\right\}$的首项 $a_1=1$，前 $n$项和为 $S_n$.已知对任意整数 $k$属于 $M$，当 $n>k$时， $S_{n+k}+S_{n-k}=2(S_n+S_k)$都成立。

（1）设 $M=\left\{1\right\}$， $a_2=2$，求 $a_5$的值；
（2）设 $M=\left\{3,4\right\}$，求数列 $\left\{a_n\right\}$的通项公式。

如图，圆 $O_1$与圆 $O_2$内切于点 $A$，其半径分别为 $r_1$与 $r_2\left(r_1>r_2\right)$，圆 $O_1$的弦 $AB$交圆 $O_2$于点 $C$（ $O_1$不在 $AB$上），

求证： $AB:AC$为定值。

已知矩阵 $A=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 1\end{array}\right]$，向量 $\beta =\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]$，求向量 $\alpha$，使得 $A^2\alpha =\beta$．

在平面直角坐标系 $xOy$中，求过椭圆 $\left\{\begin{array}{l}x=5\cos \phi \\ y=3\sin \phi \end{array}\right.\left(\phi \mathrm{为参数}\right)$的右焦点且与直线 $\left\{\begin{array}{l}x=4-2t\\ y=3-t\end{array}\right.$（ $t$为参数）平行的直线的普通方程。

解不等式： $x+\left|2x-1\right|<3$

如图,在正四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中, $A{A}_1=2,AB=1$ ,点 $N$ 是 $BC$ 的中点,点 $M$ 在 $C{C}_1$ 上,设二面角 $A_1-DN-M$ 的大小为 $\theta$ .
（1）当 $\theta ={90}^{°}$ 时,求 $AM$ 的长;
（2）当 $\cos \theta =\frac{\sqrt{6}}{6}$ 时,求 $CM$ 的长.

设整数 $n\ge 4$， $P(a,b)$是平面直角坐标系xoy中的点，其中 $a,b\in \left\{1,2,3......n\right\},a>b$

（1）记 $A_n$为满足 $a-b=3$的点P的个数，求 $A_n$；
（2）记 $B_n$为满足 $\frac{1}{3}\left(a-b\right)$是整数的点P的个数，求