在平面直角坐标系 $xOy$中，已知点 $P$是函数 $f\left(x\right)=e^x(x>0)$的图象上的动点，该图象在 $P$处的切线 $l$交 $y$轴于点 $M$，过点 $P$作 $l$的垂线交 $y$轴于点 $N$，设线段 $MN$的中点的纵坐标为 $t$，则 $t$的最大值是