初中数学解答题

为迎接2020年第35届全国青少年科技创新大赛，某学校举办了 $A$ ：机器人； $B$ ：航模； $C$ ：科幻绘画； $D$ ：信息学； $E$ ：科技小制作等五项比赛活动（每人限报一项），将各项比赛的参加人数绘制成如图两幅不完整的统计图．

根据统计图中的信息解答下列问题：

（1）本次参加比赛的学生人数是 　 　名；

（2）把条形统计图补充完整；

（3）求扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角 $\alpha$ 的度数；

（4）在 $C$ 组最优秀的3名同学 $(1$ 名男生2名女生）和 $E$ 组最优秀的3名同学 $(2$ 名男生1名女生）中，各选1名同学参加上一级比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率．

如图，已知一次函数 $y=\mathit{kx}+b$ 的图象与反比例函数 $y=\frac{m}{x}$ 的图象交于点 $A(3,a)$ ，点 $B(14-2a,2)$ ．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）若一次函数图象与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $D$ 为点 $C$ 关于原点 $O$ 的对称点，求 $\mathit{\Delta ACD}$ 的面积．

（1）化简： $(a-1+\frac{1}{a-3})÷\frac{a^2-4}{a-3}$ ；

（2）解不等式： $\frac{x+1}{3}-1<\frac{x-1}{4}$ ．

已知抛物线 $y=a{x}^2-2\mathit{ax}-3+2a^2(a\ne 0)$ ．

（1）求这条抛物线的对称轴；

（2）若该抛物线的顶点在 $x$ 轴上，求其解析式；

（3）设点 $P(m,y_1)$ ， $Q(3,y_2)$ 在抛物线上，若 $y_1<y_2$ ，求 $m$ 的取值范围．

已知 $\odot O_1$ 的半径为 $r_1$ ， $\odot O_2$ 的半径为 $r_2$ ．以 $O_1$ 为圆心，以 $r_1+r_2$ 的长为半径画弧，再以线段 $O_1{O}_2$ 的中点 $P$ 为圆心，以 $\frac{1}{2}{O}_1{O}_2$ 的长为半径画弧，两弧交于点 $A$ ，连接 $O_{1}A$ ， $O_{2}A$ ， $O_{1}A$ 交 $\odot O_1$ 于点 $B$ ，过点 $B$ 作 $O_{2}A$ 的平行线 $\mathit{BC}$ 交 $O_1{O}_2$ 于点 $C$ ．

（1）求证： $\mathit{BC}$ 是 $\odot O_2$ 的切线；

（2）若 $r_1=2$ ， $r_2=1$ ， $O_1{O}_2=6$ ，求阴影部分的面积．

已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 $I$ （单位： $A)$ 与电阻 $R$ （单位： $\Omega )$ 是反比例函数关系．当 $R=4\Omega$ 时， $I=9A$ ．

（1）写出 $I$ 关于 $R$ 的函数解析式；

（2）完成下表，并在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；

$R/\Omega$	$\dots$									$\dots$
$I/A$	$\dots$									$\dots$

（3）如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过 $10A$ ，那么用电器可变电阻应控制在什么范围内？

如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角 $\alpha$ 要满足 $60°⩽\alpha ⩽75°$ ，现有一架长 $5.5m$ 的梯子．

（1）使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙（结果保留小数点后一位）？

（2）当梯子底端距离墙面 $2.2m$ 时， $\alpha$ 等于多少度（结果保留小数点后一位）？此时人是否能够安全使用这架梯子？

（参考数据： $\sin 75°\approx 0.97$ ， $\cos 75°\approx 0.26$ ， $\tan 75°\approx 3.73$ ， $\sin 23.6°\approx 0.40$ ， $\cos 66.4°\approx 0.40$ ， $\tan 21.8°\approx 0.40$ ． $)$

2020年是脱贫攻坚年．为实现全员脱贫目标，某村贫困户在当地政府支持帮助下，办起了养鸡场．经过一段时间精心饲养，总量为3000只的一批鸡可以出售．现从中随机抽取50只，得到它们质量的统计数据如下：

质量     $/\mathit{kg}$	组中值	频数（只     $)$
$0.9⩽x<1.1$	1.0	6
$1.1⩽x<1.3$	1.2	9
$1.3⩽x<1.5$	1.4	$a$
$1.5⩽x<1.7$	1.6	15
$1.7⩽x<1.9$	1.8	8

根据以上信息，解答下列问题：

（1）表中 $a=$ 　 　，补全频数分布直方图；

（2）这批鸡中质量不小于 $1.7\mathit{kg}$ 的大约有多少只？

（3）这些贫困户的总收入达到54000元，就能实现全员脱贫目标．按15元 $/\mathit{kg}$ 的价格售出这批鸡后，该村贫困户能否脱贫？

计算： $\sqrt{{(\frac{1}{3}-\frac{1}{2})}^2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{1}{\sqrt{6}}-\sin 60°$ ．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{BC}$ ，以 $\mathit{\Delta ABC}$ 的边 $\mathit{AB}$ 为直径作 $\odot O$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $\mathit{DE}\perp \mathit{BC}$ ，垂足为点 $E$ ．

（1）试证明 $\mathit{DE}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\odot O$ 的半径为5， $\mathit{AC}=6\sqrt{10}$ ，求此时 $\mathit{DE}$ 的长．

如图，已知反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象与直线 $y=\mathit{ax}+b$ 相交于点 $A(-2,3)$ ， $B(1,m)$ ．

（1）求出直线 $y=\mathit{ax}+b$ 的表达式；

（2）在 $x$ 轴上有一点 $P$ 使得 $\mathit{\Delta PAB}$ 的面积为18，求出点 $P$ 的坐标．

如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼 $\mathit{AB}$ 的高度进行测量，先测得居民楼 $\mathit{AB}$ 与 $\mathit{CD}$ 之间的距离 $\mathit{AC}$ 为 $35m$ ，后站在 $M$ 点处测得居民楼 $\mathit{CD}$ 的顶端 $D$ 的仰角为 $45°$ ，居民楼 $\mathit{AB}$ 的顶端 $B$ 的仰角为 $55°$ ，已知居民楼 $\mathit{CD}$ 的高度为 $16.6m$ ，小莹的观测点 $N$ 距地面 $1.6m$ ．求居民楼 $\mathit{AB}$ 的高度（精确到 $1m)$ ．（参考数据： $\sin 55°\approx 0.82$ ， $\cos 55°\approx 0.57$ ， $\tan 55°\approx l.43)$ ．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$ 中， $E$ 为 $\mathit{BC}$ 的中点，连接 $\mathit{AE}$ 并延长交 $\mathit{DC}$ 的延长线于点 $F$ ，连接 $\mathit{BF}$ ， $\mathit{AC}$ ，若 $\mathit{AD}=\mathit{AF}$ ，求证：四边形 $\mathit{ABFC}$ 是矩形．

今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的 $A$ ， $B$ 两种树苗，每捆 $A$ 种树苗比每捆 $B$ 种树苗多10棵，每捆 $A$ 种树苗和每捆 $B$ 种树苗的价格分别是630元和600元，而每棵 $A$ 种树苗和每棵 $B$ 种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍．

（1）求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？

（2）如果购进的这批树苗共5500棵， $A$ 种树苗至多购进3500棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进 $A$ 种树苗和 $B$ 种树苗各多少棵？并求出最低费用．

为了提高学生的综合素养，某校开设了五门手工活动课，按照类别分为： $A$ "剪纸"、 $B$ "沙画"、 $C$ "葫芦雕刻"、 $D$ "泥塑"、 $E$ "插花"．为了了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．

根据以上信息，回答下列问题：

（1）本次调查的样本容量为 　 　；统计图中的 $a=$ 　　， $b=$ 　　；

（2）通过计算补全条形统计图；

（3）该校共有2500名学生，请你估计全校喜爱"葫芦雕刻"的学生人数．