初中数学计算题

如图①，在平面直角坐标系中，二次函数 $y=-\frac{1}{3}{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象与坐标轴交于 $A$， $B$， $C$三点，其中点 $A$的坐标为 $(-3,0)$，点 $B$的坐标为 $(4,0)$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$．动点 $P$从点 $A$出发，在线段 $\mathit{AC}$上以每秒1个单位长度的速度向点 $C$作匀速运动；同时，动点 $Q$从点 $O$出发，在线段 $\mathit{OB}$上以每秒1个单位长度的速度向点 $B$作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为 $t$秒．连接 $\mathit{PQ}$．

（1）填空： $b=$　     　， $c=$　      　；

（2）在点 $P$， $Q$运动过程中， $\mathit{\Delta APQ}$可能是直角三角形吗？请说明理由；

（3）在 $x$轴下方，该二次函数的图象上是否存在点 $M$，使 $\mathit{\Delta PQM}$是以点 $P$为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间 $t$；若不存在，请说明理由；

（4）如图②，点 $N$的坐标为 $(-\frac{3}{2}$， $0)$，线段 $\mathit{PQ}$的中点为 $H$，连接 $\mathit{NH}$，当点 $Q$关于直线 $\mathit{NH}$的对称点 $Q\text{'}$恰好落在线段 $\mathit{BC}$上时，请直接写出点 $Q\text{'}$的坐标．

已知抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过点 $A(-2,0)$， $B(0$、 $-4)$与 $x$轴交于另一点 $C$，连接 $\mathit{BC}$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图， $P$是第一象限内抛物线上一点，且 $S_{\mathit{\Delta PBO}}=S_{\mathit{\Delta PBC}}$，求证： $\mathit{AP}//\mathit{BC}$；

（3）在抛物线上是否存在点 $D$，直线 $\mathit{BD}$交 $x$轴于点 $E$，使 $\mathit{\Delta ABE}$与以 $A$， $B$， $C$， $E$中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请求出点 $D$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知一次函数 $y=-\frac{4}{3}x+4$的图象是直线 $l$，设直线 $l$分别与 $y$轴、 $x$轴交于点 $A$、 $B$．

（1）求线段 $\mathit{AB}$的长度；

（2）设点 $M$在射线 $\mathit{AB}$上，将点 $M$绕点 $A$按逆时针方向旋转 $90°$到点 $N$，以点 $N$为圆心， $\mathit{NA}$的长为半径作 $\odot N$．

①当 $\odot N$与 $x$轴相切时，求点 $M$的坐标；

②在①的条件下，设直线 $\mathit{AN}$与 $x$轴交于点 $C$，与 $\odot N$的另一个交点为 $D$，连接 $\mathit{MD}$交 $x$轴于点 $E$，直线 $m$过点 $N$分别与 $y$轴、直线 $l$交于点 $P$、 $Q$，当 $\mathit{\Delta APQ}$与 $\mathit{\Delta CDE}$相似时，求点 $P$的坐标．

计算
（1）                
（2）
（3）           
（4）

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，抛物线 $y=-\frac{1}{4}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过点 $A(-2,0)$， $B(8,0)$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $C$是抛物线与 $y$轴的交点，连接 $\mathit{BC}$，设点 $P$是抛物线上在第一象限内的点， $\mathit{PD}\perp \mathit{BC}$，垂足为点 $D$．

①是否存在点 $P$，使线段 $\mathit{PD}$的长度最大？若存在，请求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由；

②当 $\mathit{\Delta PDC}$与 $\mathit{\Delta COA}$相似时，求点 $P$的坐标．

如图1，二次函数 $y_1=(x-2)(x-4)$的图象与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧），其对称轴 $l$与 $x$轴交于点 $C$，它的顶点为点 $D$．

（1）写出点 $D$的坐标　      　．

（2）点 $P$在对称轴 $l$上，位于点 $C$上方，且 $\mathit{CP}=2\mathit{CD}$，以 $P$为顶点的二次函数 $y_2=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的图象过点 $A$．

①试说明二次函数 $y_2=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的图象过点 $B$；

②点 $R$在二次函数 $y_1=(x-2)(x-4)$的图象上，到 $x$轴的距离为 $d$，当点 $R$的坐标为　    　时，二次函数 $y_2=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的图象上有且只有三个点到 $x$轴的距离等于 $2d$；

③如图2，已知 $0<m<2$，过点 $M(0,m)$作 $x$轴的平行线，分别交二次函数 $y_1=(x-2)(x-4)$、 $y_2=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的图象于点 $E$、 $F$、 $G$、 $H$（点 $E$、 $G$在对称轴 $l$左侧），过点 $H$作 $x$轴的垂线，垂足为点 $N$，交二次函数 $y_1=(x-2)(x-4)$的图象于点 $Q$，若 $\mathit{\Delta GHN}\backsim \mathit{\Delta EHQ}$，求实数 $m$的值．

如图1，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}$的图象过点 $A(-1,3)$，顶点 $B$的横坐标为1．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）点 $P$在该二次函数的图象上，点 $Q$在 $x$轴上，若以 $A$、 $B$、 $P$、 $Q$为顶点的四边形是平行四边形，求点 $P$的坐标；

（3）如图3，一次函数 $y=\mathit{kx}(k>0)$的图象与该二次函数的图象交于 $O$、 $C$两点，点 $T$为该二次函数图象上位于直线 $\mathit{OC}$下方的动点，过点 $T$作直线 $\mathit{TM}\perp \mathit{OC}$，垂足为点 $M$，且 $M$在线段 $\mathit{OC}$上（不与 $O$、 $C$重合），过点 $T$作直线 $\mathit{TN}//y$轴交 $\mathit{OC}$于点 $N$．若在点 $T$运动的过程中， $\frac{O{N}^2}{\mathit{OM}}$为常数，试确定 $k$的值．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=\frac{2}{3}{x}^2-\frac{2}{3}x-4$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点（点 $A$在点 $B$左侧），与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求点 $A$， $B$， $C$的坐标；

（2）点 $P$从 $A$点出发，在线段 $\mathit{AB}$上以每秒2个单位长度的速度向 $B$点运动，同时，点 $Q$从 $B$点出发，在线段 $\mathit{BC}$上以每秒1个单位长度的速度向 $C$点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为 $t$秒，求运动时间 $t$为多少秒时， $\mathit{\Delta PBQ}$的面积 $S$最大，并求出其最大面积；

（3）在（2）的条件下，当 $\mathit{\Delta PBQ}$面积最大时，在 $\mathit{BC}$下方的抛物线上是否存在点 $M$，使 $\mathit{\Delta BMC}$的面积是 $\mathit{\Delta PBQ}$面积的1.6倍？若存在，求点 $M$的坐标；若不存在，请说明理由．

请先阅读下列一组内容，然后解答问题：
因为：，
所以：
===．
计算：（1）
（2）．

如图1，已知一次函数 $y=x+3$的图象与 $x$轴、 $y$轴分别交于 $A$、 $B$两点，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$过 $A$、 $B$两点，且与 $x$轴交于另一点 $C$．

（1）求 $b$、 $c$的值；

（2）如图1，点 $D$为 $\mathit{AC}$的中点，点 $E$在线段 $\mathit{BD}$上，且 $\mathit{BE}=2\mathit{ED}$，连接 $\mathit{CE}$并延长交抛物线于点 $M$，求点 $M$的坐标；

（3）将直线 $\mathit{AB}$绕点 $A$按逆时针方向旋转 $15°$后交 $y$轴于点 $G$，连接 $\mathit{CG}$，如图2， $P$为 $\mathit{\Delta ACG}$内一点，连接 $\mathit{PA}$、 $\mathit{PC}$、 $\mathit{PG}$，分别以 $\mathit{AP}$、 $\mathit{AG}$为边，在他们的左侧作等边 $\mathit{\Delta APR}$，等边 $\mathit{\Delta AGQ}$，连接 $\mathit{QR}$

①求证： $\mathit{PG}=\mathit{RQ}$；

②求 $\mathit{PA}+\mathit{PC}+\mathit{PG}$的最小值，并求出当 $\mathit{PA}+\mathit{PC}+\mathit{PG}$取得最小值时点 $P$的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象经过点 $A(-1,0)$， $B(0,-\sqrt{3})$， $C(2,0)$，其对称轴与 $x$轴交于点 $D$

（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；

（2）若 $P$为 $y$轴上的一个动点，连接 $\mathit{PD}$，则 $\frac{1}{2}\mathit{PB}+\mathit{PD}$的最小值为　      　；

（3） $M(x,t)$为抛物线对称轴上一动点

①若平面内存在点 $N$，使得以 $A$， $B$， $M$， $N$为顶点的四边形为菱形，则这样的点 $N$共有　　个；

②连接 $\mathit{MA}$， $\mathit{MB}$，若 $\angle \mathit{AMB}$不小于 $60°$，求 $t$的取值范围．

阅读理解：在平面直角坐标系中，若两点 $P$、 $Q$的坐标分别是 $P(x_1$， $y_1)$、

$Q(x_2$， $y_2)$，则 $P$、 $Q$这两点间的距离为 $\left|\mathit{PQ}\right|=\sqrt{{(x_1-x_2)}^2+{(y_1-y_2)}^2}$．如 $P(1,2)$， $Q(3,4)$，则 $\left|\mathit{PQ}\right|=\sqrt{{(1-3)}^2+{(2-4)}^2}=2\sqrt{2}$．

对于某种几何图形给出如下定义：符合一定条件的动点形成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．如平面内到线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线．

解决问题：如图，已知在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，直线 $y=\mathit{kx}+\frac{1}{2}$交 $y$轴于点 $A$，点 $A$关于 $x$轴的对称点为点 $B$，过点 $B$作直线 $l$平行于 $x$轴．

（1）到点 $A$的距离等于线段 $\mathit{AB}$长度的点的轨迹是　                             　；

（2）若动点 $C(x,y)$满足到直线 $l$的距离等于线段 $\mathit{CA}$的长度，求动点 $C$轨迹的函数表达式；

问题拓展：（3）若（2）中的动点 $C$的轨迹与直线 $y=\mathit{kx}+\frac{1}{2}$交于 $E$、 $F$两点，分别过 $E$、 $F$作直线 $l$的垂线，垂足分别是 $M$、 $N$，求证：

① $\mathit{EF}$是 $\mathit{\Delta AMN}$外接圆的切线；

② $\frac{1}{\mathit{AE}}+\frac{1}{\mathit{AF}}$为定值．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$与直线 $y=x+1$相交于 $A(-1,0)$， $B(4,m)$两点，且抛物线经过点 $C(5,0)$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$是抛物线上的一个动点（不与点 $A$、点 $B$重合），过点 $P$作直线 $\mathit{PD}\perp x$轴于点 $D$，交直线 $\mathit{AB}$于点 $E$．

①当 $\mathit{PE}=2\mathit{ED}$时，求 $P$点坐标；

②是否存在点 $P$使 $\mathit{\Delta BEC}$为等腰三角形？若存在请直接写出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1是一个用铁丝围成的篮筐，我们来仿制一个类似的柱体形篮筐．如图2，它是由一个半径为 $r$、圆心角 $90°$的扇形 $A_{2}O{B}_2$，矩形 $A_2{C}_2\mathit{EO}$、 $B_2{D}_2\mathit{EO}$，及若干个缺一边的矩形状框 $A_1{C}_1{D}_1{B}_1$、 $A_2{C}_2{D}_2{B}_2$、 $\dots$、 $A_n{B}_n{C}_n{D}_n$， $\mathit{OEFG}$围成，其中 $A_1$、 $G$、 $B_1$在 $\stackrel{̂}{A_2{B}_2}$上， $A_2$、 $A_3\dots$、 $A_n$与 $B_2$、 $B_3$、 $\dots B_n$分别在半径 $O{A}_2$和 $O{B}_2$上， $C_2$、 $C_3$、 $\dots$、 $C_n$和 $D_2$、 $D_3\dots D_n$分别在 $E{C}_2$和 $E{D}_2$上， $\mathit{EF}\perp C_2{D}_2$于 $H_2$， $C_1{D}_1\perp \mathit{EF}$于 $H_1$， $F{H}_1=H_1{H}_2=d$， $C_1{D}_1$、 $C_2{D}_2$、 $C_3{D}_3$、 $C_n{D}_n$依次等距离平行排放（最后一个矩形状框的边 $C_n{D}_n$与点 $E$间的距离应不超过 $d)$， $A_1{C}_1//A_2{C}_2//A_3{C}_3//\dots //A_n{C}_n$

（1）求 $d$的值；

（2）问： $C_n{D}_n$与点 $E$间的距离能否等于 $d$？如果能，求出这样的 $n$的值，如果不能，那么它们之间的距离是多少？

如图，抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{3}{2}x+2$与 $x$轴交于点 $A$， $B$，与 $y$轴交于点 $C$．

（1）试求 $A$， $B$， $C$的坐标；

（2）将 $\mathit{\Delta ABC}$绕 $\mathit{AB}$中点 $M$旋转 $180°$，得到 $\mathit{\Delta BAD}$．

①求点 $D$的坐标；

②判断四边形 $\mathit{ADBC}$的形状，并说明理由；

（3）在该抛物线对称轴上是否存在点 $P$，使 $\mathit{\Delta BMP}$与 $\mathit{\Delta BAD}$相似？若存在，请直接写出所有满足条件的 $P$点的坐标；若不存在，请说明理由．