初中数学计算题

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(b<0)$与 $x$轴只有一个公共点．

（1）若抛物线与 $x$轴的公共点坐标为 $(2,0)$，求 $a$、 $c$满足的关系式；

（2）设 $A$为抛物线上的一定点，直线 $l:y=\mathit{kx}+1-k$与抛物线交于点 $B$、 $C$，直线 $\mathit{BD}$垂直于直线 $y=-1$，垂足为点 $D$．当 $k=0$时，直线 $l$与抛物线的一个交点在 $y$轴上，且 $\mathit{\Delta ABC}$为等腰直角三角形．

①求点 $A$的坐标和抛物线的解析式；

②证明：对于每个给定的实数 $k$，都有 $A$、 $D$、 $C$三点共线．

某市是世界有机蔬菜基地，数10种蔬菜在国际市场上颇具竞争力．某种有机蔬菜上市时，某经销商按市场价格10元/千克收购了2000千克某种蔬菜存放入冷库中．据预测，该种蔬菜的市场价格每天每千克将上涨0．5元，但冷库存放这批蔬菜时每天需要支出各种费用合计340元，而且这种蔬菜在冷库中最多保存110天，同时，平均每天将会有6千克的蔬菜损坏不能出售．
（1）若存放x天后，将这批蔬菜一次性出售，设这批蔬菜的销售总金额为y元，试写出y与x之间的函数关系式．
（2）经销商想获得利润22500元，需将这批蔬菜存放多少天后出售？（利润＝销售总金额－收购成本－各种费用）
（3）经销商将这批蔬菜存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？

已知一次函数 $y_1=\mathit{kx}+n(n<0)$和反比例函数 $y_2=\frac{m}{x}(m>0,x>0)$．

（1）如图1，若 $n=-2$，且函数 $y_1$、 $y_2$的图象都经过点 $A(3,4)$．

①求 $m$， $k$的值；

②直接写出当 $y_1>y_2$时 $x$的范围；

（2）如图2，过点 $P(1,0)$作 $y$轴的平行线 $l$与函数 $y_2$的图象相交于点 $B$，与反比例函数 $y_3=\frac{n}{x}(x>0)$的图象相交于点 $C$．

①若 $k=2$，直线 $l$与函数 $y_1$的图象相交点 $D$．当点 $B$、 $C$、 $D$中的一点到另外两点的距离相等时，求 $m-n$的值；

②过点 $B$作 $x$轴的平行线与函数 $y_1$的图象相交于点 $E$．当 $m-n$的值取不大于1的任意实数时，点 $B$、 $C$间的距离与点 $B$、 $E$间的距离之和 $d$始终是一个定值．求此时 $k$的值及定值 $d$．

如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D在抛物线上，且A（－1,0），D（2,2）．

（1）求这条抛物线的解析式；
（2）在y轴上是否存在点P，使以O、B、P为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）小明在探索该图时提出了这样一个猜想：“直线AD平分∠CAB”，你认为小明的猜想正确吗？请说明理由．

如图，直线 $y=-\frac{3}{4}x+3$与 $x$轴交于点 $A$，与 $y$轴交于点 $B$．抛物线 $y=-\frac{3}{8}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过 $A$、 $B$两点，与 $x$轴的另一个交点为 $C$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$是第一象限抛物线上的点，连接 $\mathit{OP}$交直线 $\mathit{AB}$于点 $Q$．设点 $P$的横坐标为 $m$， $\mathit{PQ}$与 $\mathit{OQ}$的比值为 $y$，求 $y$与 $m$的函数关系式，并求出 $\mathit{PQ}$与 $\mathit{OQ}$的比值的最大值；

（3）点 $D$是抛物线对称轴上的一动点，连接 $\mathit{OD}$、 $\mathit{CD}$，设 $\mathit{\Delta ODC}$外接圆的圆心为 $M$，当 $\sin \angle \mathit{ODC}$的值最大时，求点 $M$的坐标．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 过点 $A(0,2)$ ，且抛物线上任意不同两点 $M(x_1$ ， $y_1)$ ， $N(x_2$ ， $y_2)$ 都满足：当 $x_1<x_2<0$ 时， $(x_1-x_2)(y_1-y_2)>0$ ；当 $0<x_1<x_2$ 时， $(x_1-x_2)(y_1-y_2)<0$ ．以原点 $O$ 为圆心， $\mathit{OA}$ 为半径的圆与抛物线的另两个交点为 $B$ ， $C$ ，且 $B$ 在 $C$ 的左侧， $\mathit{\Delta ABC}$ 有一个内角为 $60°$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若 $\mathit{MN}$ 与直线 $y=-2\sqrt{3}x$ 平行，且 $M$ ， $N$ 位于直线 $\mathit{BC}$ 的两侧， $y_1>y_2$ ，解决以下问题：

①求证： $\mathit{BC}$ 平分 $\angle \mathit{MBN}$ ；

②求 $\mathit{\Delta MBC}$ 外心的纵坐标的取值范围．

若一次函数 $y=-3x-3$ 的图象与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于 $A$ ， $C$ 两点，点 $B$ 的坐标为 $(3,0)$ ，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 的图象过 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点，如图（1）．

（1）求二次函数的表达式；

（2）如图（1），过点 $C$ 作 $\mathit{CD}//x$ 轴交抛物线于点 $D$ ，点 $E$ 在抛物线上 $(y$ 轴左侧），若 $\mathit{BC}$ 恰好平分 $\angle \mathit{DBE}$ ．求直线 $\mathit{BE}$ 的表达式；

（3）如图（2），若点 $P$ 在抛物线上（点 $P$ 在 $y$ 轴右侧），连接 $\mathit{AP}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{BP}$ ， $S_{\mathit{\Delta BFP}}=m{S}_{\mathit{\Delta BAF}}$ ．

①当 $m=\frac{1}{2}$ 时，求点 $P$ 的坐标；

②求 $m$ 的最大值．

阅读：如图1所示，因为CE∥AB，所以∠1＝∠A，∠2＝∠B，所以∠ACD＝∠1＋∠2＝∠A＋∠B，这是一个有用的事实．请用这个结论在如图2所示的四边形ABCD内过点D引一条和边AB平行的直线，求∠A＋∠B＋∠C＋∠ADC的度数．

如图所示，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，ED与BC的交点为G，D，C分别落在D′，C′的位置上，若∠EFG＝55°，求∠1与∠2的度数．

如图①，已知直线y=-2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC．

（1）求点A、C的坐标；
（2）将△ABC对折，使得点A的与点C重合，折痕交AB于点D，求直线CD的解析式（图②）；
（3）在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得△APC与△ABC全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

如图所示，小东和小明分别在河的两岸，他们想知道河的两岸EF和MN是否平行，每人拿来了一个测角仪和两根标杆，那么就现有的条件，小东和小明能否判断河的两岸EF和MN平行？说说你的方案．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 过点 $A(0,2)$ ．

（1）若点 $(-\sqrt{2}$ ， $0)$ 也在该抛物线上，求 $a$ ， $b$ 满足的关系式；

（2）若该抛物线上任意不同两点 $M(x_1$ ， $y_1)$ ， $N(x_2$ ， $y_2)$ 都满足：当 $x_1<x_2<0$ 时， $(x_1-x_2)(y_1-y_2)>0$ ；当 $0<x_1<x_2$ 时， $(x_1-x_2)(y_1-y_2)<0$ ．以原点 $O$ 为心， $\mathit{OA}$ 为半径的圆与拋物线的另两个交点为 $B$ ， $C$ ，且 $\mathit{\Delta ABC}$ 有一个内角为 $60°$ ．

①求抛物线的解析式；

②若点 $P$ 与点 $O$ 关于点 $A$ 对称，且 $O$ ， $M$ ， $N$ 三点共线，求证： $\mathit{PA}$ 平分 $\angle \mathit{MPN}$ ．

取一张正方形纸片ABCD，如图

（1）折叠∠A，设顶点A落在点A′的位置，折痕为EF；如图（2）折叠∠B，使EB沿EA′的方向落下，折痕为EG．试判断∠FEG的度数是否是定值，并说明理由．

如图，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$交 $x$轴于 $A$、 $B$两点，其中点 $A$坐标为 $(1,0)$，与 $y$轴交于点 $C(0,-3)$．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图①，连接 $\mathit{AC}$，点 $P$在抛物线上，且满足 $\angle \mathit{PAB}=2\angle \mathit{ACO}$．求点 $P$的坐标；

（3）如图②，点 $Q$为 $x$轴下方抛物线上任意一点，点 $D$是抛物线对称轴与 $x$轴的交点，直线 $\mathit{AQ}$、 $\mathit{BQ}$分别交抛物线的对称轴于点 $M$、 $N$．请问 $\mathit{DM}+\mathit{DN}$是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

如图所示，点O在直线AB上，OE平分∠COD，且∠AOC︰∠COD︰∠DOB＝1︰3︰2，求∠AOE的度数．